Момент инерции. При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) отно­сительно оси вращения называется физи­ческая величина, равная сумме произведе­ний масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматри­ваемой оси:

. (4.5)

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

, (4.6)

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с коорди­натами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис.4.6). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентриче­ские цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r + dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dI = r ² dm (так как dr < < r, то считаем, что расстояние всех точек ци­линдра от оси равно r), где dm - масса всего элементарного цилиндра; его объем 2 πrh dr. Если ρ - плотность материала, то dm = ρ· 2 πrh dr и dI = 2 π ρhπr³dr. Тогда мо­мент инерции сплошного цилиндра

,

но так как π R ² h - объем цилиндра, то его масса m = π R ² hρ, а момент инерции

.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относи­тельно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела I относительно любой оси вращения О равен моменту его инерции I_C относительно параллельной оси, про­ходящей через центр масс С тела, сло­женному с произведением массы m тела на квадрат расстояния a ² между осями:

I = I_C + ma ². (4.7)

Приведем значения мо­ментов инерции (табл.1) для некоторых тел (тела считаются однородными, m - масса тела).