Синтез приоритетов

На этом этапе в нашем примере семья построила иерархию, составила матрицы и выразила субъективные парные суждения. Как они помогут определить тот дом, который следует купить? В этом разделе описывается, каким образом сочетаются иерархическая декомпозиция и шкала относительной важности для получения осмысленных подходов к многокритериальным проблемам планирования.

А. СИНТЕЗ: ЛОКАЛЬНЫЕ ПРИОРИТЕТЫ

Из группы матриц парных сравнений мы формируем набор локальных приоритетов, которые выражают относительное влияние множества элементов на элемент примыкающего сверху уровня. Находим относительную силу, величину, ценность, желательность или вероятность каждого отдельного объекта через «решение» матриц, каждая из которых обладает обратносимметричными свойствами. Для этого нужно вычислить множество собственных векторов для каждой матрицы, а затем нормализовать результат к единице, получая тем самым вектор приоритетов.

Вычисление собственных векторов — не очень сложная задача, однако может потребовать довольно много времени. К счастью, имеются несложные пути получения хорошего приближения к приоритетам. Одним из наилучших путей является геометрическое среднее. Это можно сделать, перемножая элементы в каждой строке и извлекая корни п -й степени, где п — число элементов. Полученный таким образом столбец чисел нормализуется делением каждого числа на сумму всех чисел. Иной способ заключается в нормализации элементов каждого столбца матрицы и затем в усреднении каждой строки. Таким образом, мы можем определить не только порядок приоритетов каждого отдельного элемента, но и величину его приоритета.

При использовании любого метода аппроксимации существует опасность изменения порядка ранжирования и поэтому получения нежелательных результатов. Подход, основанный на собственном векторе, использует информацию, которая содержится в любой, даже несогласованной матрице, и позволяет получать приоритеты, основанные на имеющейся информации, не производя арифметических преобразований данных. Для индивидуума или группы лиц идея заключается в том, чтобы решить, хотят они или нет изменить суждения.

Далее выполняется умножение матрицы суждений на вектор приоритетов:

Когда матрица имеет такой вид, получается, что в действительности х ₁, х ₂, х ₃и х ₄есть не что иное, как w ₁, w ₂, w ₃и w ₄ соответственно. Из отношений w_i / w_j можно определить каждую компоненту w. Важно отметить, что в матрице суждений нет отношения в виде w_i / w_j, а имеются только целые числа или их обратные величины из шкалы. Эта матрица в общем случае несогласованна.

Алгебраически задача в случае согласованности заключается в решении уравнения Aw = nw, А = (w_i / w_j), а общая задача с обратносимметричными суждениями заключается в решении уравнения А ' w' = λ_maxw', А ' = (а_ij), где λ_max — наибольшее собственное значение матрицы суждений А.

Б. СОГЛАСОВАННОСТЬ ЛОКАЛЬНЫХ ПРИОРИТЕТОВ '

Весьма полезным побочным продуктом теории является так называемый индекс согласованности (ИС), который дает информацию о степени нарушения численной (кардинальной, а_ijа_jk = а_ik) и транзитивной (порядковой) согласованности. Для улучшения согласованности можно рекомендовать поиск дополнительной информации и пересмотр данных, использованных при построении шкалы. В других процедурах построения шкал отношения нет структурно порожденного индекса.

Все измерения, включая те, в которых используются приборы, подвержены погрешностям измерений, а также погрешностям из-за неточностей в самом измерительном приборе. Эти погрешности могут привести к несогласованным выводам. Например, при взвешивании предметов измерения могут показать, что А тяжелее, чем Б, Б тяжелее, чем В, однако В тяжелее, чем А. В частности, это может случиться, когда веса предметов А, Б и В близки, а прибор недостаточно точен, чтобы их различить. Отсутствие согласованности может быть серьезным ограничивающим фактором для исследования некоторых проблем, но не быть таковым для других. Например, если объекты — два химиката, которые должны быть смешаны в точных пропорциях при изготовлении лекарства, то несогласованность может означать, что в пропорции применяется один химикат в большем, чем необходимо, количестве, что, возможно, приведет к вредным последствиям при употреблении лекарства.

Однако совершенной согласованности при измерениях даже с наиболее точными инструментами трудно достичь на практике. Нужен способ оценки степени согласованности при решении конкретной задачи.

Вместе с матрицей парных сравнений мы имеем меру оценки степени отклонения от согласованности. Когда такие отклонения превышают установленные пределы, тому, кто проводит суждения, следует перепроверить их в матрице.

Индекс согласованности в каждой матрице и для всей иерархии может быть приближенно получен вычислениями вручную. Сначала суммируется каждый столбец суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца — на вторую компоненту и т. д. Затем полученные числа суммируются. Таким образом можно получить величину, обозначаемую λ_max. Для индекса согласованности имеем ИС = (λ_max - n) / (n -1), где n — число сравниваемых элементов. Для обратносимметричной матрицы всегда λ_max ≥ n

Теперь сравним эту величину с той, которая получилась бы при случайном выборе количественных суждений из шкалы 1/9, 1/8, 1/7,..., 1,2,...,9, при образовании обратносимметричной матрицы. Ниже даны средние согласованности для случайных матриц разного порядка.

Размер матрицы
Случайная согласованность			0,58	0,90	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49

Если разделить ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, получим отношение согласованности (ОС). Величина ОС должна быть порядка 10% или менее, чтобы быть приемлемой. В некоторых случаях можно допустить 20%, но не более. Если ОС выходит из этих пределов, то участникам нужно исследовать задачу и проверить свои суждения.

В. ПРИНЦИП СИНТЕЗА

Теперь обратимся к принципу синтеза. Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует этот элемент. (Каждый элемент второго уровня умножается на единицу, т. е. на вес единственной цели самого верхнего уровня.) Это дает составной, или глобальный, приоритет того элемента, который затем используется для взвешивания локальных приоритетов элементов, сравниваемых по отношению к нему как к критерию и расположенных уровнем ниже. Процедура продолжается до самого нижнего уровня.

Г. ИЛЛЮСТРАЦИЯ ДЕКОМПОЗИЦИИ, СРАВНИТЕЛЬНЫХ СУЖДЕНИЙ И СИНТЕЗА

Для иллюстрации этих идей на конкретной задаче вернемся к семье, покупающей дом. В табл.3.6 представлена еще раз матрица попарных сравнений для второго уровня иерархии, которая содержит восемь критериев, воспринимаемых как воздействующие на общую цель — «Дом». На этот раз вычислим вектор приоритетов, собственное значение λ _max,индекс согласованности и отношение согласованности.

Отметим, что отношение согласованности несколько выше, чем нам хотелось бы, однако семья решила не пересматривать суждения, так как их не интересовали строго согласованные результаты. В сравнительно больших матрицах (например, от 7 до 9 элементов) часто трудно достигнуть высокого уровня согласованности. Тем не менее уровень согласованности должен соответствовать тому риску, который сопутствует работе с несогласованными результатами. Например, при сравнении воздействия лекарств на организм необходимо иметь очень высокий уровень согласованности.

Таблица 3.6 Покупка дома: матрица попарных сравнений для уровня 2, решения и согласованность

Общее удовлетворение домом	Размеры дома	Удобство автобусных маршрутов	Окрестности	Когда построен дом	Двор	Современное оборудование	Общее состояние	Финансовые условия	Вектор приоритетов	Вектор приоритетов приближенный
Размеры дома							1/3	1/4	0,173	0,175
Удобство автобусных маршрутов	1/5		1/3				1/5	1/7	0,054	0,063
Окрестности	1/3							1/5	0,188	0,149
Когда построен дом	1/7	1/5	1/6		1/3	1/4	1/7	1/8	0,018	0,019
Двор	1/6	1/3	1/3			1/2	1/5	1/6	0,031	0,036
Современное оборудование	1/6	1/3	1/4				1/5	1/6	0,036	0,042
Общее состояние			1/6					1/2	0,167	0,167
Финансовые условия									0,333	0,350
								λ max =	9,669	9,863
								ИС =	0,238	0,266
								ОС =	0,169	0,189

Компоненты столбца «вектор приоритетов» получены с помощью компьютерной программы, которая вычисляет реальные компоненты собственного вектора. Элементы столбца «приближенный вектор приоритетов» получены по описанному выше приближенному методу (нормализованные среднегеометрические). Значения этих столбцов отличаются количественно, однако качественно решения совпадают. Одним из наиболее успешных и легких способов структурировать и решить проблему с помощью МАИ является применение программной системы Expert Choice производства фирмы Decision Support Software (г. Маклин, штат Виргиния, США).

Интерпретация приоритетов. Наличие адекватного финансирования воспринимается семьей как наиболее важный критерий при выборе дома. Фактически он в 2 раза важнее размеров (0,350 против 0,175) и намного более важен, чем время постройки, который имеет низкий приоритет, равный 0,019. Действительно, можно было бы выбрать для рассмотрения только 3 или 4 наиболее важных критерия — скажем финансирование, окрестности, размеры и общее состояние, при проведении последующих вычислений, так как они окажут наибольшее влияние на окончательный выбор дома. Для того чтобы проделать это, следует просто сложить приоритеты наиболее важных критериев и разделить каждый на сумму, получив таким образом новый нормализованный вектор приоритетов для более легкого исследования набора критериев. В этом примере тем не менее сохраняются все критерии для проведения с помощью МАИ всего процесса в полном объеме.

В табл.3.7 вновь вводятся парные сравнения для третьего уровня иерархии, иллюстрирующие сравнительную желательность домов А, Б и В по отношению к критериям второго уровня. Видно, что дом Б — лучший по критерию финансирования, а дом А воспринимается как лучший относительно размеров и удобства автобусных маршрутов. Прежде чем продолжить обсуждение, можно попробовать догадаться, какой из домов получил наивысшую оценку с точки зрения глобального приоритета, обратив особое внимание на выраженные семьей предпочтения по критериям и связи каждого из трех домов по отдельным критериям.

Задание 1: Вычислить приближенный вектор приоритетов, λ _max, ИС, ОС для каждой матрицы и сравнить с приведенными значениями в таблице 3.7.

Таблица 3.7 Покупка дома: матрицы попарных сравнений для уровня 3, решения и согласованность

Размеры дома	А	Б	В	Вектор приоритетов	Двор	А	Б	В	Вектор приоритетов
А				0,754	А				0,674
Б	1/6			0,181	Б	1/5		1/3	0,101
В	1/8	1/4		0,065	в	1/4			0,226
				λ max = 3,136					λ max = 3,086
				ИС = 0,068					ИС = 0,043
				ОС = 0,117					ОС = 0,074
Удобство автобусных маршрутов	А	Б	в	Вектор приоритетов	Современное оборудование	А	Б	в	Вектор приоритетов
А			1/5	0,233	А				0,747
Б	1/7		1/8	0,005	Б	1/8		1/5	0,060
В				0,713	В	1/6			0,193
				λ max = 3,247					λ max = 3,197
				ИС = 0,124					ИС = 0,099
				ОС = 0,213					ОС = 0,170
Окрестности	А	Б	в	Вектор приоритетов	Общее состояние	А	Б	в	Вектор приоритетов
А				0,745	А	Г	1/2	1/2	0,200
Б	1/8		1/4	0,065	Б				0,400
В	1/6			0,181	В				0,400
				λ max = 3,130					λ max = 3,000
				ИС = 0,068					ИС = 0,000
				ОС = 0,117					ОС = 0,000
Когда построен дом	А	Б	в	Вектор приоритетов	Финансовые условия	А	Б	в	Вектор приоритетов
А				0,333	А		1/7	1/5	0,072
Б				0,333	Б				0,650
В				0,333	В		1/3		0,278
				λ max = 3,000					λ max = 3,065
				ИС = 0,000					ИС = 0,032
				ОС = 0,000					ОС = 0,056

Следующим этапом является применение принципа синтеза. Для выявления составных, или глобальных, приоритетов домов в матрице локальные приоритеты располагаются по отношению к каждому критерию, каждый столбец векторов умножается на приоритет соответствующего критерия и результат складывается вдоль каждой строки. Например, для дома А имеем:

(0,754 ´ 0,173) + (0,233 ´ 0,054) + (0,745 ´ 0,188) + (0,333 ´ 0,018) + (0,674 ´ 0,031) + (0,747 ´ 0,036) + (0,200 ´ 0,167) + (0,072 ´ 0,333) = 0,396.

	(0,173)	(0,054)	(0,188)	(0,018)	(0,031)	(0,036)	(0,167)	(0,333)	Обобщенные или глобальные приоритеты
А	0,754	0,233	0,745	0,333	0,674	0,747	0,200	0,072	0,396
Б	0,181	0,005	0,065	0,333	0,101	0,060	0,400	0,650	0,341
В	0,065	0,713	0,181	0,333	0,226	0,193	0,400	0,278	0,263

Дом А, который был наименее желателен с точки зрения финансовых условий (критерий с наивысшим приоритетом), вопреки ожиданию оказался победителем. Этот дом и был куплен. Семья сделала выбор безоговорочно.

При анализе можно убедиться, что исход не был удивительным, если принять во внимание тот факт, что дом А превосходил остальные дома по четырем из семи критериев, по которым не было ничейных результатов. Пример также показывает, что следует быть осторожным, решив исключить из рассмотрения какие-то критерии после первых вычислений.

Задание 2: Вычислить приближенный вектор глобальных приоритетов по приближенным векторам локальных приоритетов. Сравнить решение с точным.

Задание 3: Пересчитать приближенные векторы локальных и глобальных приоритетов, если количество критериев в задаче сократить до 4 наиболее важных (финансирование, окрестности, размеры и общее состояние). Оценить результаты и сравнить с результатами решения полной задачи.

Уровень 1 Фокус     Уровень 2 Критерии   Уровень 3 Альтернативы

Рис.3.2. Выбор работы

3.5. Дополнительные приложения МАИ