Решение. Изобразим пластинку на плоскости xOy

Изобразим пластинку на плоскости xOy.

у

В

0 А х

Масса неоднородной пластинки выражается через двойной интеграл по формуле: .

В нашем случае область D - треугольник ОАВ, .

Запишем уравнение прямой АВ, используя уравнение прямой в отрезках:

, откуда получаем ; область D задаётся как решение системы неравенств

Вычислим массу m, переходя от двойного к повторному интегралу:

12. а) (Только для профиля ТСА.)Вычислить работу, совершаемую переменной силой по прямой, соединяющей точки М (1; 1) и N (2; 3).

б) (Только для профилей ЭОЭТ и ЭОП.) Проверить, что векторное поле потенциально; найти потенциал поля и работу, совершаемую силой при переходе из точки М (1; 2) в точку N (3; 5).

Решение. а) Для того чтобы найти работу, совершаемую переменной силой , вычислим криволинейный интеграл

по прямой, соединяющей точки М (1; 1) и N (2; 3).

Запишем уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

.

После преобразований получаем: , поэтому .

Перейдем от криволинейного интеграла к определенному, подставляя полученные нами выражения для y и dy и учитывая, что .

Тогда работа A примет вид

у

N

3

1 M

0 1 2 х

б) Векторное поле имеет вид . Поэтому

, . Найдем частные производные .

Производные совпадают, откуда следует, что поле потенциально.

Потенциал векторного поля находим по формуле

.

Для нашего случая

,

то есть потенциал данного поля равен

.

Проверим, правильно ли мы нашли потенциальную функцию. Для этого должны выполняться следующие условия:

.

В нашем случае:

по условию ,

по условию .

В потенциальных полях работа A силы равна разности потенциалов, то есть .

В нашем случае

.

13. Найти вероятность безотказной работы участка цепи, если известно, что каждый -ый элемент работает независимо от других с вероятностью ( = 1, 2, 3, 4, 5, 6). .

Решение. Участок цепи будет работать безотказно, если работают блоки 1–2 и 3–4–5–6 (последовательное соединение).

Рассмотрим блок 1–2. Элементы 1 и 2 соединены параллельно, следовательно, блок 1–2 будет работать, если хотя бы один из элементов 1, 2 исправен.

– надежность блока 1–2.

Рассмотрим блок 3–4–5–6. Блок 3–4–5–6 будет безотказно работать хотя бы в одном из случаев:

исправны элементы 3 и 4,

исправен элемент 5,

исправен элемент 6.

– вероятность безотказной работы блока 3–4.

–

надежность блока 3–4–5–6.

Следовательно,

– искомая надежность участка цепи.

14. Измерены диаметры для 90 деталей, обрабатываемых на некотором станке. Данные замеров приведены в табл. 1.

Таблица 1

70,88	67,04	69,20	66,24	64,80	71,52	67,52	68,96	67,36	68,64
67,12	66,96	69,04	66,00	66,00	64,88	65,84	67,52	65,68	70,00
70,80	66,32	67,40	66,08	69,76	68,01	65,76	69,20	65,60	66,72
67,44	67,72	68,72	64,00	66,32	68,21	70,96	67,76	66,88	69,12
65,84	64,88	69,46	68,48	65,04	70,00	70,16	68,72	67,04	69,36
66,48	68,20	64,72	70,40	67,76	69,28	71,20	67,90	66,80	70,24
69,15	67,68	69,36	67.46	65,48	66,98	71,40	68,15	68,88	65,26
64,71	68,36	67,13	66,18	68,19	67,05	68,90	68,72	69,21	68,14
66,99	64,44	68,05	69,40	70,01	68,76	67,70	70,00	71,32	70,46

Выполнить статистическую обработку результатов измерений по следующему плану.

1) Построить вариационный ряд.

2) Найти точечные оценки математического ожидания (генеральной средней ) и дисперсии случайной величины (признака) .

3) Построить гистограмму относительных частот.

4) На том же чертеже построить кривую нормального распределения и провести анализ соответствия выборочных данных нормальному закону распределения случайной величины Х.