Решение. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд по формуле

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд по формуле

Тогда

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как четвёртый его член по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения заданной точности достаточно взять первые три члена ряда. Получаем:

.

.

9. Разложить заданную функцию в ряд Фурье по синусам на отрезке .

Решение. Так как по условию ряд должен содержать только синусы кратных углов, то следует продолжить заданную функцию на отрезок нечетным образом, затем продолжить на всю числовую ось с периодом . Теперь разложим полученную периодическую функцию в ряд Фурье (эта операция разложения называется гармоническим анализом) вида:

.

Так как заданная функция нечетная, то коэффициенты ряда Фурье , а вычисляем по формуле

и ряд Фурье имеет вид .

Подставляя заданную функцию, получаем

.

Последний интеграл вычисляем методом интегрирования по частям, полагая . Отсюда . следовательно,

Таким образом, искомое разложение имеет вид

или

10. Дана функция двух переменных . Найти:

1) экстремум функции ;

2) в точке А (1; –2);

3) наибольшую скорость возрастания точке А (1; –2).

Решение. 1) Для отыскания экстремума функции предварительно найдем частные производные первого и второго порядка:

Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

Решением системы является точка М (–4; 1). Точка М (–4; 1) называется подозрительной на экстремум. Найдем частные производные второго порядка в точке М:

Из них составим определитель второго порядка

Так как , то в точке М (–4; 1) есть экстремум. Производная , а, значит, это точка минимума функции.

2) Градиент функции найдем по формуле:

, и были найдены в пункте 1.

.

Градиент функции в точке А (1; –2):

.

3) Наибольшая скорость возрастания функции равна модулю градиента:

.

11. Вычислить массу неоднородной пластинки треугольной формы с вершинами в точках О (0;0), А (5;0), В (0;7), поверхностная плотность которой в точке М (х;у) равна .