Индивидуальные задания для самостоятельной работы студентов

ВАРИАНТ 1

1. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы А, А, А, Н, Н, С, получится слово АНАНАС?

2. Наудачу взяты два неотрицательных числа и , удовлетворяющие условию . Найти вероятность того, что их сумма будет не больше чем 0,5.

3. Вероятность попадания снаряда в самолёт при выстреле из орудия равна 0,4, а вероятность того, что самолёт будет сбит при выстреле из орудия равна 0,1. Найти вероятность того, что самолёт будет сбит, если в него попадёт снаряд.

4. Для посева заготовлены семена четырех сортов пшеницы: 20% всех семян − семена 1-го сорта, 30% − семена 2-го сорта, 10% − семена 3-го сорта и 40% − семена 4-го сорта. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 40 зерен, для семян 1-го сорта равна 0,5, 2-го сорта– 0,3, 3-го сорта– 0,2, 4-го сорта– 0,1. Найти вероятность того, что: а) наудачу взятое зерно даст колос, содержащий не менее 40 зерен; б) сорванный колос с 40 зернами вырос из семян 2-го сорта.

5. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,2. Куплено 7 билетов. Найти вероятность того, что среди них будет: а) 3 выигрышных билета; б) хотя бы один выигрышный.

6. Известно, что 80% специалистов в районе имеет высшее образование. Найти вероятность того, что из 100 наудачу отобранных человек высшее образование имеют: а) не менее 70 человек; б) 90 человек.

ВАРИАНТ 2

1. Из 6 карточек с буквами З, А, Д, А, Ч, А (по одной букве на каждой карточке) наудачу выбирают 4 карточки и раскладывают их в ряд. Какова вероятность того, что получится слово ДАЧА?

2. На отрезке длины числовой оси наудачу поставлены две точки и . Найти вероятность того, что длина отрезка окажется меньше, чем .

3. Игральную кость подбрасывают до первого выпадения «6». Какова вероятность того, что придётся сделать четыре подбрасывания?

4. Статистические данные говорят о том, что 23% всех запросов кредитов в банке приходится на государственные органы, 18% − на другие банки, а остальные – на физические лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращен государственным органом, банком и физическим лицом соответственно равны 0,01; 0,07 и 0,2. Определить, какова вероятность того, что: 1) взятый кредит будет возвращен в банк; 2) невозвращённый кредит приходится на физическое лицо.

5. Вероятность выловить карпа в пруду при одном забрасывании удочки равна 0,4. Выловили шесть рыб. Какова вероятность того, что среди них: а) 3 карпа; б) не менее двух карпов.

6. Вероятность появления события в каждом из 3600 независимых испытаний равна 0,4. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

ВАРИАНТ 3

1. Найти вероятность того, что участник лотереи «Спортлото 5 из 36» угадает ровно 3 номера?

2. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии . На плоскость наудачу брошена монета радиуса . Найти вероятность того, что монета не пересечёт ни одной из прямых.

3. Вероятности безотказной работы в течение промежутка времени длительностью первого, второго и третьего станков соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что в течение указанного промежутка времени безотказно проработают: а) только 2 станка; б) хотя бы один из станков.

4. В группе спортсменов 20 бегунов, 6 прыгунов и 4 метателя. Вероятность того, что будет выполнена норма мастера спорта бегуном, равна 0,9, прыгуном – 0,8 и метателем – 0,75. Найти вероятность того, что: а) наудачу выбранный спортсмен выполнит норму мастера спорта; б) наудачу выбранный спортсмен, не выполнивший норму мастера спорта, был бегуном.

5. Найти наиболее вероятное число выпадений «6» при 200 подбрасываниях игральной кости.

6. Вероятность того, что при сортировке изделий одно из них будет испорчено, равна 0,005. Найти вероятность того, что из 200 изделий окажутся испорченными: а) три изделия; б) не более двух изделий.

ВАРИАНТ 4

1. Шесть человек случайным образом садятся на шестиместную скамейку. Найти вероятность того, что два определённых лица окажутся рядом.

2. Внутрь круга наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в круг квадрата.

3. Два игрока по очереди извлекают карту из колоды 36-ти игральных карт (извлечённая карта возвращается обратно в колоду). Выигрывает тот, кто первым извлечёт туза. Каковы вероятности выигрыша каждого из игроков?

4. Для сдачи экзамена студентам было необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили все вопросы, 8 − по 25 вопросов, 5 – по 20 вопросов, остальные – по 15 вопросов каждый. Какова вероятность того, что: а) опрашиваемый студент ответит на заданный вопрос; б) ответивший на поставленный вопрос студент подготовил только половину вопросов.

5. Посажено 6 саженцев. Вероятность того, что саженец приживется, равна 0,7. Найти вероятность того, что: а) приживутся два саженца;

б) не более трех саженцев.

6. Вероятность возникновения помехи при передаче сигнала в каждом из независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что в 120 испытаниях помехи появятся: а) 84 раза; б) не более 75 раз.

ВАРИАНТ 5

1. Из 10 билетов лотереи выигрышными являются 3. Найти вероятность того, что из 5 случайно взятых билетов выигрышным окажется хотя бы один билет.

2. В квадрате со стороной наудачу выбрана точка. Найти вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей вершины квадрата не превышает .

3. Два стрелка по очереди производят выстрелы по одной и той же цели до первого попадания каким-нибудь из стрелков. Какова вероятность, что первый сделает больше выстрелов, чем второй, если вероятности поражения цели первым и вторым стрелком соответственно равны 0,4 и 0,5 и каждый из стрелков может сделать не более четырёх выстрелов?

4. На заводе 24 человека обучаются на заочном факультете университета: 6 человек на машиностроительном факультете, 12 – на радиотехническом факультете и 6 – на экономическом факультете. Вероятности успешно сдать все экзамены на предстоящей сессии для студентов этих факультетов соответственно равны 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что: а) наудачу взятый студент успешно сдаст все экзамены; б) студент, «заваливший» сессию, обучается на радиотехническом факультете?

5. Исследуется жирность молока у 7 коров. Вероятность того, что молоко, полученное от отдельной коровы, имеет жирность не менее 4%, равна 0,6. Найти вероятность того, что жирность молока не менее 4% имеют а) три коровы; б) менее трех коров.

6. Вероятность появления события в каждом из 12100 независимых испытаний равна 0,75. В каком интервале с вероятностью будет при этом лежать относительная частота данного события?

ВАРИАНТ 6

1. Из букв слова ТЕОРЕМА наугад выбрали две буквы (не обязательно разные). Какова вероятность того, что обе буквы будут либо гласными, либо согласными?

2. В квадрате со стороной наудачу выбрана точка. Найти вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не превышает .

3. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при одновременном залпе из двух орудий равна 0,9. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым орудием, если для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

4. Семена для посева поступают из трех семеноводческих хозяйств. Причем первое и второе хозяйства присылают по 40% всех семян. Всхожесть семян из первого хозяйства равна 90%, из второго – 85%, из третьего – 95%. Определить вероятность того, что: а) наудачу взятое семя не взойдет; б) наудачу взятое взошедшее семя получено от второго хозяйства?

5. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность промаха при одном выстреле для первого стрелка равна 0,2, а для второго – 0,4. Найти наивероятнейшее число залпов, при котором не будет ни одного попадания в мишень, если стрелки произведут 25 залпов.

6. Вероятность того, что деталь, изготовленная станком-автоматом, окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется: а) ровно 4 бракованных; б) более двух бракованных.

ВАРИАНТ 7

1. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы А, А, К, С, С, получится слово КАССА?

2. Наудачу взяты два неотрицательных числа и , не превосходящие 2. Найти вероятность того, что их сумма будет не больше 1.

3. Вероятность безотказной работы прибора в течение 100 дней равна 0,5, а вероятность безотказной работы этого же прибора в течение 200 дней равна 0,2. Прибор проработал 100 дней. Найти вероятность того, что он проработает ещё 100 дней.

4. Запасная деталь может находиться в первой, второй или третьей партиях с вероятностями 0,2; 0,5 и 0,3 соответственно. Вероятности того, что деталь проработает положенное время без ремонта, для первой, второй и третьей партий равны соответственно 0,9, 0,8 и 0,7. Определить вероятность того, что: а) взятая наудачу деталь проработает положенное время; б) деталь, проработавшая положенное время, взята из первой партии.

5. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) выключены все моторы.

6. Вероятность выхода из строя за время t одного конденсатора равна 0,2. Определить вероятность того, что за время t из 100 конденсаторов выйдут из строя: а) 26 конденсаторов; б) не менее 30 конденсаторов.

ВАРИАНТ 8

1. Из 7 карточек с буквами О, Т, Р, Е, З, О, К (по одной букве на каждой карточке) наудачу выбирают 5 карточек и раскладывают их в ряд. Какова вероятность того, что получится слово ОЗЕРО?

2. На отрезке длины числовой оси наудачу поставлены две точки и , причём . Найти вероятность того, что длина отрезка окажется меньше, чем .

3. Монету подбрасывают до первого выпадения «герба». Какова вероятность того, что придётся сделать пять подбрасываний?

4. Два оператора набирают на компьютере базы данных. Вероятность того, что первый оператор допустит ошибку, равна 0,05; для второго оператора эта вероятность равна 0,1. Найти вероятность того, что а) при наборе будет допущена ошибка; б) оператором, допустившим ошибку, был первый оператор.

5. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится: а) одному; б) хотя бы одному покупателю.

6. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Сколько нужно сделать испытаний, чтобы с вероятностью можно было ожидать, что относительная частота появления данного события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01?

ВАРИАНТ 9

1. Устройство состоит из 6 элементов, из которых 2 изношенных. При включении устройства случайным образом включаются три элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

2. На плоскость с нанесённой сеткой квадратов со стороной наудачу брошена монета радиуса . Найти вероятность того, что монета не пересечёт ни одной из сторон квадратов.

3. Вероятность показать рекордный результат на спортивных соревнованиях для первого спортсмена равна 0,5, для второго – 0,3, для третьего – 0,1. Какова вероятность того, что рекорд будет установлен: а) только одним спортсменом; б) хотя бы одним спортсменом.

4. Преподаватель экзаменует незнакомую ему группу. Он знает, что в предыдущую сессию в этой группе было 27 успевающих студентов, из них 6 отличников, и 3 неуспевающих студента. Он считает, что отличники ответят по билету с вероятностью 0,8, остальные успевающие студенты – с вероятностью 0,6 и неуспевающие − с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что: а) вызванный студент ответит по билету; б) студент, не ответивший по билету, был отличником.

5. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,8, а для второго – 0,6. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых оба стрелка попадут в мишень, если будет произведено 15 залпов.

6. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит не более 3 бракованных книг.

ВАРИАНТ 10

1. Все 8 книг восьмитомного собрания сочинений Ф.М. Достоевского поставили наугад на книжную полку. Какова вероятность того, что все тома с чётными номерами окажутся стоящими левее всех томов с нечётными номерами?

2. Внутрь круга наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в круг равностороннего треугольника.

3. Два стрелка поочерёдно стреляют по мишени до первого попадания. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,2, а для второго – 0,3. Найти вероятность того, что первый стрелок сделает больше выстрелов, чем второй.

4. В сентябре вероятность дождливого дня равна 0,3. Команда «Статистик» выигрывает в футбол в ясный день с вероятностью 0,8, а в дождливый день − с вероятностью 0,3. Определить вероятность того, что: а) команда проиграет назначенную на сентябрь игру; б) в день матча шёл дождь, если известно, что «Статистик» выиграл.

5. Покупатель посещает 6 магазинов. Вероятность покупки в каждом из этих магазинов равна 0,6. Найти вероятность того, что покупки будут сделаны: а) в трех магазинах; б) хотя бы в одном магазине.

6. Имеются 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 80% всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными: а) 90 станков; б) от 70 до 86 станков?

ВАРИАНТ 11

1. В коробке из 25 изделий 15 изделий 1-го сорта. Наудачу извлекаются 3 изделия. Определить вероятность того, что хотя бы одно из извлечённых изделий 1-го сорта.

2. В правильном треугольнике со стороной наудачу выбрана точка. Найти вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей вершины треугольника не превышает .

3. Двое по очереди подбрасывают монету до первого выпадения «герба». Какова вероятность того, что второй сделает столько же подбрасываний, сколько и первый, если каждый может подбросить монету не более трёх раз?

4. Магазин получает товар от трех поставщиков: 55% всего товара поступает от 1-го поставщика, 20% − от второго, 25% − от третьего. Продукция, поступающая от 1-го поставщика, содержит 5% брака, от 2-го поставщика – 6% брака, от 3-го поставщика – 8% брака. Найти вероятность того, что: а) покупатель приобретет качественный товар; б) приобретённый наудачу в данном магазине бракованный товар получен от 2-го поставщика.

5. Студент сдает пять экзаменов. Вероятность сдать удовлетворительно каждый из этих экзаменов равна 0,7. Найти вероятность того, что студент сдаст удовлетворительно: а) не менее четырех экзаменов; б) все экзамены.

6. Вероятность появления события в каждом из 4900 независимых испытаний равна 0,45. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

ВАРИАНТ 12

1. Из колоды 36-ти игральных карт наудачу выбирают 2 карты. Найти вероятность того, что обе карты окажутся либо тузами, либо картами бубновой масти

2. В правильном треугольнике со стороной наудачу выбрана точка. Найти вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны треугольника не превышает .

3. Вероятность того, что стрелок попадёт в цель хотя бы один раз при трёх выстрелах, равна 0,992. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

4. В магазин трикотажных изделий поступили носки, 60% которых получено от первой фабрики, 25% − от второй, 15% − от третьей. Первая фабрика дает 3% брака, вторая − 2% брака, третья – 5% брака. Найти вероятность того, что: а) купленные наудачу носки будут небракованными; б) приобретённые в данном магазине наудачу носки с браком поступили с третьей фабрики.

5. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,3. Найти число испытаний, при котором наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях равно 30.

6. Численность работников предприятия составляет 500 человек. Вероятность невыхода на работу из-за болезни равна 0,01 для каждого работника предприятия. Определить вероятность того, что в ближайший день не выйдет на работу хотя бы один из работников.

ВАРИАНТ 13

1. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы Б, Л, О, О, О, Т, получится слово БОЛОТО?

2. Наудачу взяты два положительных числа и , не превосходящие 2. Найти вероятность того, что частное будет не больше чем 2.

3. Вероятность ответить на вопрос экзаменатора равна 0,7, а вероятность получить отличную оценку, т.е. правильно ответить на вопрос экзаменатора, равна 0,3. Какова вероятность получить отличную оценку, ответив на вопрос экзаменатора?

4. Имеются три урны. В первой урне 6 черных и 4 белых шара, во второй 5 белых и 5 черных шаров, в третьей 7 белых и 3 черных шара. Случайно выбирается урна и из нее наудачу извлекается шар. Найти вероятность того, что: а) извлечённый шар будет чёрным; б) шар извлекли из второй урны, если известно, что он оказался белым.

5. В цехе работают 8 двигателей. Вероятность перегрева каждого из них за определенное время работы равна 0,3. Найти вероятность того, что за время работы перегреется: а) половина двигателей; б) не менее двух двигателей.

6. Всхожесть семян составляет 80%. Найти вероятность того, что из 1000 посеянных семян: а) взойдет 840 семян; б) взойдут от 650 до 760 семян.

ВАРИАНТ 14

1. Из 6 карточек с буквами Н, А, У, Г, А, Д (по одной букве на каждой карточке) наудачу выбирают 4 карточки и раскладывают их в ряд. Какова вероятность того, что получится слово ДУГА?

2. На отрезке длины числовой оси наудачу поставлены две точки и . Найти вероятность того, что длина отрезка меньше расстояния от точки до ближайшей к ней точке.

3. Из колоды 36-ти игральных карт последовательно извлекаются карты до первого появления карты бубновой масти (извлечённая карта обратно в колоду не возвращается). Какова вероятность того, что будет извлечено 6 карт?

4. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 10 стандартных, во втором − 30 деталей, из них 25 стандартных, в третьем − 10 деталей, из них 8 стандартных. Найти вероятность того, что: а) взятая наудачу деталь, будет стандартной; б) деталь извлекли из второго ящика, если известно что она бракованная.

5. При передаче сообщения вероятность искажения для каждого знака равна 0,1. Какова вероятность того, что сообщение из 5 знаков: а) не будет искажено; б) содержит ровно одно искажение.

6. Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. В каком интервале с вероятностью будет при этом лежать относительная частота данного события?

ВАРИАНТ 15

1. Из 15 строительных рабочих 10 – штукатуры, а 5 – маляры. Наудачу отбирается бригада из 5 рабочих. Какова вероятность того, что среди них будут 3 маляра и 2 штукатура?

2. Пол в комнате выложен плитками, имеющими форму правильных шестиугольников со стороной . Из кошелька на пол выпала монета радиуса . Какова вероятность, что монета не пересечёт ни одной из сторон шестиугольных плиток?

3. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,3, второй – 0,4, третий – 0,5. По условиям приема события, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что: а) корреспондент вообще услышит вызов; б) корреспондент услышит только один вызов.

4. Поток автомобилей, проезжающих мимо АЗС, состоит из 60% грузовых и 40% легковых автомобилей. Известно, что вероятность заправки грузового автомобиля равна 0,1, а легкового – 0,3. Найти вероятность того, что: а) проезжающий мимо АЗС автомобиль заправится на этой станции; б) автомобиль, заправившийся на данной АЗС, был легковым.

5. Чему равна вероятность наступления события в каждом из 49 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 30?

6. В пчелиной семье 5000 пчел. Вероятность заболевания в течение дня равна 0,001 для каждой пчелы. Найти вероятность того, что в течение дня заболеет более чем одна пчела.

ВАРИАНТ 16

1. и , а также ещё 6 человек встали случайным образом в очередь за арбузами. Найти вероятность того, что и окажутся разделёнными тремя людьми.

2. Внутрь круга наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в круг правильного шестиугольника.

3. В урне 2 белых и 3 чёрных шара. Два игрока поочерёдно извлекают из урны по одному шару (извлечённый шар возвращается после извлечения обратно в урну). Выигрывает тот, кто первым извлечёт белый шар. Найти вероятность того, что выиграет первый игрок, т.е. игрок, начинающий извлекать шары.

4. В магазине продаются 4 видеокамеры. Вероятность того, что они выдержат гарантийный срок, соответственно равны 0,91; 0,9; 0,95; 0,94. Найти вероятность того, что: а) взятая наудачу видеокамера выдержит гарантийный срок; б) выдержавшая гарантийный срок видеокамера – вторая?

5. Спортсмен делает 6 попыток взять высоту 1,8 м. Вероятность взять высоту в каждой попытке равна 0,7. Определить вероятность того, что спортсмен возьмет высоту: а) 5 раз; б) более 2-х раз.

6. Вероятность безотказной работы станка за время испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 испытаниях станок откажет: а) 10 раз; б) не менее 15 и не более 20 раз.

ВАРИАНТ 17

1. К концу дня в магазине осталось 60 арбузов, из которых 50 спелых. Покупатель наудачу выбирает два арбуза. Какова вероятность, что хотя бы один из них спелый?

2. В прямоугольнике со сторонами 4 и 6 наудачу выбрана точка. Найти вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей вершины прямоугольника не превышает 2.

3. В урне 2 белых и 3 чёрных шара. Два игрока поочерёдно извлекают из урны по одному шару (извлечённый шар после извлечения не возвращается обратно в урну). Выигрывает тот, кто первым извлечёт белый шар. Найти вероятность того, что выиграет первый игрок, т.е. игрок, начинающий извлекать шары.

4. Пассажир за получением билета может обратиться в одну из касс. Вероятность обращения в первую кассу составляет 0,4; вторую – 0,35; третью – 0,25. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут проданы, равна для первой кассы 0,3; для второй – 0,4; для третьей – 0,6. Найти вероятность того, что: а) пассажир, выбрав наудачу кассу, купит билет; б) купивший билет пассажир приобрёл его во второй кассе.

5. Вытачивается 6 деталей. Вероятность произвести бракованную деталь при каждой выточке равна 0,1. Найти вероятность того, что среди этих деталей: а) будет менее трех бракованных; б) будет хотя бы одна бракованная.

6. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти наименьшее число испытаний, при котором с вероятностью можно было ожидать, что относительная частота появления данного события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04?

ВАРИАНТ 18

1. Найти вероятность того, что две последние цифры наудачу выбранного телефонного номера являются либо обе чётными, либо обе нечётными.

2. В прямоугольнике со сторонами 4 и 6 наудачу выбрана точка. Найти вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны прямоугольника не превышает 1.

3. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трёх выстрелах равна 0,784. Найти вероятность одного промаха при трёх выстрелах.

4. На сборку поступило 50 деталей, изготовленных на первом станке, 100 деталей – на втором и 150 деталей – на третьем. Первый станок дает 2% брака, второй − 1% брака и третий − 3% брака. Найти вероятность того, что: а) взятая наугад деталь окажется небракованной; б) небракованная деталь изготовлена на первом станке?

5. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,7. Найти число испытаний, при котором наивероятнейшее число появлений события равно 20.

6. Для любого абонента вероятность позвонить на коммутатор в течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят не более одного абонента.

ВАРИАНТ 19

1. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы А, А, М, М, получится слово МАМА?

2. Наудачу взяты два положительных числа и , не превосходящие 1. Найти вероятность того, что произведение будет не меньше, чем 0,1.

3. Вероятность добежать до конца марафонскую дистанцию для некоторого спортсмена равна 0,8, а вероятность выиграть марафонскую дистанцию для этого же спортсмена равна 0,05. Какова вероятность того, что спортсмен выиграл марафонскую дистанцию, если известно, что он добежал её до конца?

4. В торговую фирму поставляются холодильники тремя фирмами в соотношении 5:2:3. Холодильники, поступающие от этих фирм, не требуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 96%, 92% и 94% случаев. Найти вероятность того, что: а) купленный наудачу холодильник не потребует ремонта в течение гарантийного срока; б) холодильник был получен от второй фирмы, если через неделю после покупки он сломался.

5. Производится 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность возгорания аппарата равна 0,8. Найти вероятность того, что возгорание произойдет: а) в двух испытаниях; б) не более, чем в одном испытании.

6. Автомобиль движется по трассе длиной 243 км. Вероятность переключения передач на каждом километре трассы равна 0,25. Найти вероятность того, что переключение передач произойдет: а) 70 раз; б) не менее 50 и не более 80 раз.

ВАРИАНТ 20

1. Из 7 карточек с буквами К, О, С, И, Н, У, С (по одной букве на каждой карточке) наудачу выбирают 5 карточек и раскладывают их в ряд. Какова вероятность того, что получится слово СИНУС?

2. На отрезке длины числовой оси наудачу поставлены две точки и , причём . Найти вероятность того, что длина отрезка меньше длины отрезка .

3. Из колоды 36 игральных карт последовательно извлекаются карты до первого появления карты бубновой масти (извлечённая карта после извлечения возвращается обратно в колоду). Какова вероятность того, что будет извлечено 6 карт?

4. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата в 3 раза больше производительности второго. Вероятность изготовления стандартной детали первым автоматом равна 0,95, а вторым – 0,8. Найти вероятность того, что: а) взятая наудачу деталь будет стандартной; б) взятая наудачу нестандартная деталь изготовлена вторым автоматом?

5. Проверяются на стандартность 4 детали. Вероятность того, что деталь окажется стандартной, равна 0,8. Определить вероятность того, что: а) две детали окажутся стандартными; б) не менее трех деталей окажутся стандартными.

6. Вероятность появления события в каждом из 8100 независимых испытаний равна 0,6. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.

ВАРИАНТ 21

1. Из 25 работников предприятия 10 имеют высшее образование. Определить вероятность того, что из случайно отобранных трех человек высшее образование имеют два человека.

2. Пол в комнате выложен плитками, имеющими форму правильных треугольников со стороной . Из кошелька на пол выпала монета радиуса . Какова вероятность того, что монета не пересечёт ни одной из сторон треугольных плиток?

3. Вероятность потери письма в почтовом отделении равна 0,03, а телеграммы – 0,01. Отправлено два письма и одна телеграмма. Какова вероятность того, что дойдет: а) только телеграмма; б) хотя бы одно из отправлений?

4. Вероятность того, что недельный оборот торговца мороженым превысит 4000 гривен, при солнечной погоде равна 0,8, при переменной облачности – 0,5, а при дождливой погоде – 0,1. Вероятность солнечной погоды в данное время года составляет 0,2, вероятность переменной облачности и вероятность дождливой погоды – по 0,4. Найти вероятность того, что на следующей неделе: а) оборот превысит 4000 гривен; б) была солнечная погода, если известно, что оборот превысил 4000 гривен.

5. Чему равна вероятность наступления события в каждом из 60 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 25?

6. Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%?

ВАРИАНТ 22

1. Четверо юношей и четыре девушки случайным образом заняли места за круглым столом. Какова вероятность того, что юноши и девушки будут чередоваться?

2. Внутрь квадрата наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри круга, вписанного в квадрат.

3. Слово ВЕКТОР составлено из букв разрезной азбуки. Карточки, на которых написаны эти буквы, тщательно перемешаны и извлекаются поочерёдно по одной каждым из двух игроков (после извлечения карточка возвращается обратно в колоду). Выигрывает тот, кто первым извлечёт карточку с гласной буквой. Найти вероятность выигрыша первого игрока, т.е игрока, начинающего извлекать карточки.

4. Два предприятия выпускают однотипные изделия. Причем второе выпускает 55% изделий обоих предприятий. Вероятность выпуска бракованного изделия первым предприятием равна 0,1, вторым – 0,15. Определить вероятность того, что: а) взятое наудачу изделие окажется бракованным; б) взятое наудачу небракованное изделие выпущено вторым предприятием.

5. Для данного участника игры вероятность набросить кольцо на колышек равна 0,3. Какова вероятность того, что при шести бросках 3 кольца окажутся на колышке, если броски считать независимыми?

6. При производстве деталей вероятность брака при штамповке равна 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад взятых деталей бракованными будут: а) 50 деталей; б) менее 45 деталей?

ВАРИАНТ 23

1. В урне 3 белых, 6 черных и 5 синих шаров. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Какова вероятность того, что хотя бы один из извлечённых шаров окажется белым?

2. В правильном шестиугольнике со стороной наудачу выбрана точка. Найти вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей вершины треугольника не превышает .

3. Слово ВЕКТОР составлено из букв разрезной азбуки. Карточки, на которых написаны эти буквы, тщательно перемешаны и извлекаются поочерёдно по одной каждым из двух игроков (после извлечения карточка не возвращается обратно в колоду). Выигрывает тот, кто первым извлечёт карточку с согласной буквой. Найти вероятность выигрыша первого игрока, т.е. игрока, начинающего извлекать карточки.

4. Семена для посева на ферму поступают из трех семеноводческих хозяйств, причем первое и второе хозяйства присылают по 40% всех семян. Всхожесть семян из первого хозяйства равна 90%, из второго – 85%, из третьего – 95%. Определить вероятность того, что: а) взятое наудачу семя не взойдет; б) взошедшее семя получено от второго хозяйства.

5. На самолёте имеются 4 одинаковых двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя в полёте равна . Найти вероятность того, что в полёте могут возникнуть неполадки: а) в одном двигателе; б) более чем в одном двигателе.

6. Вероятность появления события в каждом из 1000 независимых испытаний равна 0,85. В каком интервале с вероятностью будет при этом лежать относительная частота данного события?

ВАРИАНТ 24

1. Найти вероятность того, что две первые цифры наудачу выбранного трёхзначного числа являются либо обе чётными, либо обе нечётными.

2. В правильном шестиугольнике со стороной наудачу выбрана точка. Найти вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны шестиугольника не превышает .

3. Сколько раз надо подбросить игральную кость, чтобы с вероятностью хотя бы один раз выпала «6»?

4. В магазин поступают телевизоры четырех заводов. Вероятность того, что в течение года телевизор не будет иметь неисправность, для 1-го завода равна 0,9, для 2-го – 0,8, для 3-го – 0,8, для 4-го – 0,99. Определить вероятность того, что: а) случайно выбранный телевизор выйдет из строя в течение года; б) наудачу выбранный исправный телевизор изготовлен на первом заводе.

5. Найти наиболее вероятное число выпадений двух «6» при 1000-кратном подбрасывании двух игральных костей.

6. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа для каждого из которых равна 0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?

ВАРИАНТ 25

1. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы О, О, Р, Р, Т получится слово РОТОР?

2. Наудачу взяты два неотрицательных числа и , удовлетворяющие условию . Найти вероятность того, что сумма квадратов не больше чем 0,25.

3. Вероятность того, что при измерении некоторой величины будет допущена относительная ошибка, превышающая 10%, равна 0,1, а вероятность того, что эта ошибка превысит 25%, равна 0,05. В результате измерения относительная ошибка превысила 10%. Какова вероятность того, что эта ошибка превысила 25%?

4. Перед посевом 95% семян обрабатываются специальным раствором. Всхожесть семян после обработки – 99%, а необработанных семян – 85%. Найти вероятность того, что: а) случайно взятое семя взойдет; б) наудачу взято семя из числа обработанных семян, если известно, что оно взошло.

5.Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит суточной нормы, равна 0,8. Какова вероятность того, что в течение пяти рабочих дней из семи перерасхода электроэнергии не будет?

6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Какова вероятность того, что при 250 выстрелах цель будет поражена: а) 150 раз; 2) не менее 100 раз?

ВАРИАНТ 26

1. Из 7 карточек с буквами Т, Е, О, Р, Е, М, А (по одной букве на каждой карточке) наудачу выбирают 4 карточки и раскладывают их в ряд. Какова вероятность того, что получится слово МОРЕ?

2. На отрезке длины числовой оси наудачу поставлены две точки и , причём . Найти вероятность того, что длина отрезка меньше длины отрезка .

3. Только один из 9 ключей подходит к данному замку. Какова вероятность того, что замок будет открыт с пятой попытки, т.е. для открывания замка придётся испытать 5 ключей?

4. Покупатель с равной вероятностью посещает каждый из трех магазинов. Вероятность того, что покупатель купит товар в первом магазине, равна 0,4, во втором – 0,6, в третьем – 0,8. Определить вероятность того, что: а) покупатель купит товар в каком-то магазине;

б) сделанная покупателем покупка произведена во втором магазине.

5. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть не менее двух партий из четырёх или не менее трёх партий из пяти? (Ничьи в расчёт не принимаются).

6. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,36. Сколько нужно сделать испытаний, чтобы с вероятностью можно было ожидать, что относительная частота появления данного события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01?

ВАРИАНТ 27

1. Из колоды, содержащей 52 карты, вынимается наугад 3 карты. Найти вероятность того, что это «тройка», «семерка» и «туз».

2. Пол в комнате выложен плитками, имеющими форму ромбов со стороной и острым углом, равным . Из кошелька на пол выпала монета радиуса . Какова вероятность, что монета не пересечёт ни одной из сторон указанных плиток?

3. Три стрелка ведут стрельбу по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,7, для третьего – 0,8. Найти вероятность поражения цели: а) только одним стрелком; б) хотя бы одним стрелком.

4. В корзине находятся 15 теннисных мячей, из которых 7 желтых, а остальные зеленого цвета, Для первой игры взят мяч, который не вернули в корзину после игры. Для второй игры также наугад берется мяч. Найти вероятность того, что; а) мяч во второй игре будет желтого цвета; б) в первой игре мяч был зеленого цвета, если известно, что во второй игре был жёлтый мяч.

5. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,4. Найти число испытаний, при котором наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях равно 50.

6. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит 5 раз.

ВАРИАНТ 28

1. Шесть человек случайным образом садятся за круглый стол. Найти вероятность того, что два определённых лица окажутся сидящими рядом.

2. Внутрь правильного треугольника наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри круга, вписанного в этот треугольник.

3. Двое по очереди подбрасывают монету до первого появления герба. Найти вероятность того, что первый сделает больше подбрасываний, чем второй.

4. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,6; 7 стрелков – с вероятностью 0,7; 4 стрелка – с вероятностью 0,5 и 2 стрелка – с вероятностью 0,4. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел. Определить вероятность того, что: а) стрелок попадет в цель; б) стрелок принадлежит ко второй группе, если известно, что он промахнулся.

5. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей не более двух мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

6. Вероятность полного излечения болезни равна 0,9. Найти вероятность того, что из 180 больных, прошедших курс лечения, будут признаны здоровыми: а) 150 человек; 2) не менее 145 и не более 160 человек.

ВАРИАНТ 29

1. Найти вероятность того, что участник лотереи «Спортлото 5 из 36» угадает хотя бы один номер.

2. В прямоугольнике со сторонами 4 и 8 наудачу выбрана точка. Найти вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей вершины прямоугольника не меньше 1.

3. На пяти карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Двое по очереди наудачу извлекают карточки до первого появления карточки с чётной цифрой (после извлечения карточки в колоду не возвращаются). Какова вероятность того, что второй сделает столько же извлечений, сколько и первый?

4. В первом ящике из 20 деталей 4 бракованных, во втором из 30 деталей 5 бракованных. Из первого ящика во второй переложили две детали. Найти вероятность того, что: а) деталь, извлеченная после этого из второго ящика, будет бракованной; б) из первого ящика во второй были переложены две бракованные детали, если известно, что деталь, вынутая из второго ящика, оказалась бракованной.

5. При высаживании непикированной рассады помидоров только 80% растений приживаются. Какова вероятность того, что из 8 кустов приживутся: а) ровно 5; б) не менее 2-ух?

6. Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.

ВАРИАНТ 30

1. Из коробки, в которой находились 5 красных и 7 синих карандашей, выпало 3 карандаша. Какова вероятность того, что все выпавшие карандаши являются либо синими, либо красными?

2. В прямоугольнике со сторонами 4 и 8 наудачу выбрана точка. Найти вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны прямоугольника не меньше 1.

3. Сколько раз надо подбросить монету, чтобы с вероятностью «герб» выпал хотя бы один раз?

4. Перед посевом 90% всех семян было обработано ядохимикатами. Вероятность поражения вредителями растений из обработанных семян равна 0,08, а растений из необработанных семян – 0,4. Определить вероятность того, что: а) взятое наудачу растение окажется пораженным; б) взятое наудачу поражённое растение взошло из обработанных семян.

5. Чему равна вероятность наступления события в каждом из 39 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 25?

6. В среднем левши составляют 1%. Какова вероятность того, что среди 200 студентов найдется: а) ровно 4 левши; б) не менее 3 левшей.

Приложение 2

Таблица значений функции .

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95	0,3989 0,3984 0,3970 0,3945 0,3910 0,3867 0,3814 0,3752 0,3683 0,3605 0,3521 0,3429 0,3332 0,3230 0,3123 0,3011 0,2897 0,2780 0,2661 0,2541	1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95	0,2420 0,2299 0,2179 0,2059 0,1942 0,1826 0,1714 0,1604 0,1497 0,1394 0,1295 0,1200 0,1109 0,1023 0,0940 0,0863 0,0790 0,0721 0,0656 0,0596	2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9	0,0540 0,0440 0,0355 0,0283 0,0224 0,0175 0,0136 0,0104 0,0079 0,0060 0,0044 0,0033 0,0024 0,0017 0,0012 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002

Приложение 3

Таблица значений функции Лапласа .