Предельные теоремы Лапласа, Пуассона и Бернулли

Локальная теорема Лапласа

Если вероятность события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появится в независимых испытаниях ровно раз, при достаточно больших может быть приближённо вычислена по формуле

,

где .

Погрешность формулы тем меньше, чем больше величина . Практически этой формулой можно пользоваться, если . Функции чётная, а её значения приведены в таблице 1 приложения 2.

Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появится в независимых испытаниях не менее раз и не более раз, при достаточно больших может быть приближённо вычислена по формуле

,

где .

Функция является нечётной и называется функцией Лапласа. Её значения приведены в таблице 2 приложения 2.

Погрешность данной приближённой формулы тем меньше, чем больше величина . Практически этой формулой можно пользоваться, если .

Теорема Пуассона

Если вероятность события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие появится в независимых испытаниях ровно раз, при достаточно малых и достаточно больших может быть приближённо вычислена по формуле

,где .

Теорема Бернулли

Если вероятность события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что отклонение относительной частоты события от постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит заданного числа , при достаточно больших может быть приближённо вычислена по формуле

.

Погрешность данной приближённой формулы тем меньше, чем больше величина . Практически этой формулой можно пользоваться, если .