Геометрические вероятности

1). Внутрь круга наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри прямоугольника со сторонами 3 и 4, вписанного в этот круг (рисунок 1).

Рисунок 1

Решение. Поскольку диагональ прямоугольника является диаметром круга, то для определения радиуса круга можно воспользоваться теоремой Пифагора: , откуда .

Пусть ={точка, наудачу брошенная внутрь круга, попала внутрь прямоугольника}. Согласно геометрическому определению вероятностей имеем

,

где − площадь прямоугольника со сторонами 3 и 4; − площадь круга радиусом :

, .

Поэтому .

Ответ: .

2). В круге радиуса наудачу выбрана точка . Найти вероятность того, что расстояние от точки до центра круга будет не меньше чем и не больше чем ().

Решение. Пространство элементарных исходов представляет собой круг радиуса , площадь которого .

Событию ={точка, наудачу выбранная в круге, находится от центра круга на расстоянии не большем чем и не меньшем чем } благоприятствуют те элементарные исходы, которые образуют кольцо, расположенное внутри круга и имеющее внутренний радиус и внешний – (рисунок 2). Площадь этого кольца .

Рисунок 2

Согласно геометрическому определению вероятности

.

Ответ: .

3). Парк Победы вымощен прямоугольными плитками со сторонами 9 см и 18 см. Из кармана отдыхающего выпал пятак, диаметр которого равен 2,5 см. Какова вероятность, что пятак не пересечёт ни одной из сторон прямоугольных плиток?

Решение. Положение пятака относительно плитки полностью определяется положением центра пятака относительно этой плитки. В результате падения центр пятака может оказаться в любой точке прямоугольника со сторонами 9 см и 18 см. Площадь этого прямоугольника (см²).

Событие {пятак не пересечёт ни одной из сторон прямоугольных плиток} наступает тогда и только тогда, когда центр упавшего пятака располагается от ближайшей стороны прямоугольной плитки на расстоянии, не меньшем радиуса пятака, т.е. находится внутри прямоугольника, центр которого совпадает с центром прямоугольной плитки, а стороны параллельны сторонам плитки и меньше соответствующих сторон плитки на величину равную, диаметру пятака (рисунок 3).

Рисунок 3

Площадь такого прямоугольника

.

Согласно геометрическому определению вероятности

.

Ответ: 0,62.

4). Наудачу взяты два неотрицательных числа и , удовлетворяющие условию . Найти вероятность того, что сумма квадратов не больше, чем 1.

Решение. Пространство элементарных исходов

представляет собой на плоскости равнобедренный прямоугольный треугольник (рисунок 4), катеты которого равны 2, а, следовательно, площадь .

Рисунок 4

Случайное событие изображается на плоскости в виде четверти круга с центром в начале координат и радиусом, равным 1, расположенной в первом квадранте. Площадь этой четверти круга .

Согласно геометрическому определению вероятности

.

Ответ: .

5). Внутри прямоугольника со сторонами 4 и 8 наудачу выбрана точка . Найти вероятность того, что расстояние от точки до ближайшей длинной стороны не меньше, чем расстояние от точки до ближайшей короткой стороны.

Решение. Пусть , – расстояния от точки до ближайшей длинной и ближайшей короткой сторон соответственно (). Пространство элементарных исходов на плоскости представляет собой прямоугольник со сторонами 2 и 4 (рисунок 5). Площадь этого прямоугольника .

Событию ={расстояние от точки до ближайшей длинной стороны не меньше, чем расстояние от точки до ближайшей короткой стороны} благоприятствуют те элементарные исходы, которые удовлетворяют условию , т.е. . На плоскости множество точек образует прямоугольный равнобедренный треугольник, катеты которого равны 2. Площадь этого треугольника .

Рисунок 5

Согласно геометрическому определению вероятности

.

Ответ: .