Пример.Для вычисления воспользуемся замечательными пределами а) и д)

Действительно, = = = = = = .

Обозначим при .

Тогда получим 2 = 2 = = , так как = 1.

Если требуется вычислить а , = тогда говорят, что имеет место неопределённость типа . Для раскрытия такой неопределённости используется замечательный предел б).

Пример. Вычислим . Так как = 1, а 1– при ,

то имеет место неопределённость типа .

Далее, = 1 + .

Обозначим при .

Тогда , а . Данный предел примет вид =1+ аат место неопределённо ( = = , так как .

Задание 9. Это контрольное задание относится к теме: «Непрерывность функции, точки разрыва и их классификация». Рассмотрим основные понятия, относящиеся к этой теме.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена в некоторой окрестности точки (то есть можно вычислить значения функции для всех значений ( – δ, + δ), где δ есть некоторое положительное число); 2)существует = .

Если функция непрерывна в каждой точке множества X, тогда говорят, что функция непрерывна на множестве X.

Определение. Точка называется точкой разрыва функции , если не является непрерывной в этой точке.

Из определения точки разрыва следует, что если не определена в точке , тогда точка является точкой разрыва этой функции. Например, функция = не определена в точке 0, следовательно, 0 является точкой разрыва этой функции.

Из определения также следует, что является точкой разрыва функции, если не выполняется условие 2) определения непрерывности. Развернём подробнее условие 2), используя понятие односторонних пределов. Левосторонний и правосторонний пределы функции при → обозначают так: , и, по определению, = ( стремится к , оставаясь меньше ), = ( стремится к , оставаясь больше ). Условие 2) будет равносильно следующему условию: существуют односторонние пределы , и выполняются равенства = = . Следовательно, точка будет точкой разрыва, если хотя бы одно из условий 2) не будет выполнено.

Определение. Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если существуют односторонние пределы , и ≠ либо = ≠ . При этом число – называют скачком функции в точке .

Определение. Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов , не существует или равен бесконечности.

Пример. Функция не определена в точке 0, а значит, 0 является точкой разрыва этой функции. Чтобы выяснить тип точки разрыва, вычислим односторонние пределы , . Так как , а , если , то имеем = = 1. Аналогично, так как , а , если , то = = = 0.

Следовательно, точка 0 является точкой разрыва первого рода данной функции, так как 1= ≠ = 0. Скачок функции в этой точке равен – = 0 – 1 = – 1.

Пример. =

Проверим непрерывность этой функции в точке 0. Так как существует (первый замечательный предел) =1, тогда, по теореме об односторонних пределах, существуют односторонние пределы , и справедливы следующие равенства = = = 1 ≠ 0 = .

Следовательно, точка 0 является точкой разрыва первого рода рассматриваемой функции, так как = = 1 ≠ 0 = .

Пример. = . Рассматриваемая функция не определена в точке 0, а значит 0 – точка разрыва . Вычислим односторонние пределы , . Имеем, = = 0, = =

= +∞.

Так как правосторонний предел = +∞, то точка 0 является

точкой разрыва второго рода.

Выделим теперь основной класс непрерывных функций. Справедливо утверждение, что все элементарные функции (степенная , показательная , логарифмическая , , , , , , , , ) непрерывны в своей области определения. Например, функция определена на множестве (0, +∞), а значит и непрерывна на этом множестве.

Перечислим основные свойства непрерывных функций. Пусть функции и непрерывны в точке .

Тогда: 1) функция C , где C есть постоянная, непрерывна в точке ; 2) + непрерывна в точке ; 3) непрерывна в точке ; 4) непрерывна в точке , если ≠ 0; 5) непрерывность суперпозиции двух функций (сложной функции): если функция непрерывна в точке , = = , а функция непрерывна в точке , тогда функция = = непрерывна в точке .

Из непрерывности основных элементарных функций и свойств непрерывных функций следует, что сумма, произведение и частное двух элементарных функций непрерывна в своей области определения. Например, функция + непрерывна на множестве (0, +∞); функция непрерывна в своей области определения (0,+∞) как частное двух элементарных функций. Функция определена на промежутке (–1, 1), а значит и непрерывна на этом промежутке.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию

=

Отметим, что во всех точках, кроме точек 1, 3, функция непрерывна как элементарная функция. Точки 1, 3 могут быть точками разрыва потому, что слева и справа от них функция задаётся разными аналитическими выражениями, а именно, = для < 1 и = для > 1. Вычислим односторонние пределы в этих точках. Имеем, = = = 1, = = = = 1, = 2 ─ 1= 1.

Следовательно, = = = 1, а значит, рассматриваемая функция непрерывна в точке 1. Для точки 3 имеем, = = = –1, = = = = 1, а = 2 – 3= –1.

Следовательно, ≠ и точка 3 является точкой разрыва первого рода рассматриваемой функции.

Задание 10. Это задание относится к теме: «Дифференциальное исчисление функции одной переменной». Основным понятием этой темы является понятие производной функции.

Определение. Производной функции в точке называется число = , если этот предел существует; если в точке существует производная , тогда говорят, что функция дифференцируема в точке ; если функция дифференцируема на множестве X, то функция называется дифференцируемой на множестве X.

Разность – называют приращением аргумента, а разность –– называют приращением функции, соответствующим приращению аргумента – . Если обозначить приращение аргумента ∆ = – , тогда производная, в эквивалентной форме, определится так = = .

Вычислим производную функции = в точке . По определению имеем, = = = = = = .

Из определения производной функции и замечательных пределов получают производные основных элементарных функций.

Таблица производных основных элементарных функций

1. = (производная степенной функции);

2. = (производная показательной функции), в частности = ;

3. = = (производная логарифмической функции), в частности = ;

4. = ;

5. = ;

6. = ;

7. = = ;

8. = ;

9. = ;

10. = ;

11. = .

Например, чтобы вычислить производную функции ,

применяем пункт 1 таблицы и получаем .

Правила дифференцирования. Пусть функции , дифференцируемы в точке , тогда справедливы равенства 1 – 4:

1. (c)′ = 0 (производная постоянной величины равна нулю);

2. (c )′ = c ′ (постоянный множитель можно вынести за знак производной);

3. ()′ = ′ + ′ (производная суммы равна сумме производных);

4. ()′ = ′ + ′ (производная произведения двух функций);

5. (производная частного двух функций).

6. Дифференцирование сложной функции: если функция дифференцируема в точке , = , а функция дифференцируема в точке , тогда функция = дифференцируема в точке и справедливо равенство = .

Пример. Пусть = 2 + .

Вычислим . Из правил дифференцирования и таблицы производных получаем, что = (2)′ + + – ()′ + = 0 + ()′ + – + + = – + =

= + – + = + – + + = + – + .