Обратная матрица. Матрицу обратную к матрице принято обозначать

Обратной к квадратной матрице называют матрицу такую, что , где – единичная матрица.

Матрицу обратную к матрице принято обозначать . Из опреде-

ления следует единственность обратной матрицы. Действительно, если и являются обратными к матрице , тогда и . Отсюда имеем .

Теорема. Квадратная матрица имеет обратную матрицу тогда, и только тогда, когда det 0; при этом

,

где – алгебраические дополнения элементов матрицы , иначе говоря,

, .

Пример. Найдём , если . det = 6 + 1 = 7 ¹ 0. Следовательно, существует. Найдём алгебраические дополнения матрицы : . Следовательно, . Проверка: .

Пример. Найдём , если . Имеем, det = – 6 + 0 +0+ + 0 – 4 + 1= – 9. Алгебраические дополнения матрицы равны = = –1, .

Следовательно, = .

Проверка: .

Задание 2. Рассмотрим линейную неоднородную систему n уравнений с n неизвестными

(1)

Вместе с определителем D системы будем рассматривать определители D , получающиеся из определителя D заменой – того столбца столбцом свободных членов, т. е.

D = , D = .

Теорема 2 (Крамера). Система (1) имеет единственное решение Û определитель системы D ¹ 0. При этом, решение системы определяется формулами Крамера: .

Пример. Решить по теореме Крамера следующую систему:

Определитель системы = –10 – 40 –21 –8– 30 +35 = – 74 ¹ 0.

Следовательно, рассматриваемая система имеет единственное решение. Вычислим определители D .

Имеем = = 40 + 50 – 14 + 10 – 20 – 140 = –74, = –10 – 80 –15 – 8 – 60 +25 = –148, = –10 –16 + 84 +32 –30 + +14 = 74.

Таким образом, = – решение данной системы.