Дифференциал и его свойства

Из определения производной функции в точке следует, что = или = 0. Обозначим , где при . Из последнего равенства находим, что = = + . Обозначив , из последнего равенства окончательно получим = , где при . При фиксированном выражение является линейной функцией одной переменной и называется дифференциалом функции , соответствующим приращению аргумента . Дифференциал обозначают или кратко .

Следовательно, по определению, = . Так как , то дифференциал принято записывать в инвариантной форме = .

Пример. Вычислим дифференциал функции при =1, = 0,1. По определению дифференциала = = = . В точке =1 получаем , а для = 0,1 будет = (3,5)(0,1) = 0,35.

Перечислим основные свойства дифференциала.

1. , где C – произвольная постоянная.

2. .

3.

4. .

5. Инвариантность формы дифференциала. Если является независимой переменной, тогда = . Если же зависимая переменная, то есть , тогда, по правилу дифференцирования сложной функции, (так как = ). Следовательно, форма дифференциала не зависит от того, является ли независимой или зависимой переменной.