Оптимальний прийом багатопозиційних сигналів

Дотепер розглядалися різні аспекти розрізнення тільки двох сигналів. Однак на практиці часто зустрічаються системи передачі даних, у яких для передачі інформації використовуються кілька (більше двох) сигналів s_i (t), i = 1, 2, 3,..., m. У таких системах на кожному часовому інтервалі фіксованої тривалості може передаватися один із m сигналів. Такі сигнали називають m - рівневі або m – позиційні (m як правило число парне). Прикладом системи m – рівневих сигналів може бути система частотно-маніпульованих сигналів, кожному з яких відповідає конкретне значення частоти.

Нехай прийнятий сигнал має вигляд

,

(2.42)

де s_i (t) – один із m детермінованих сигналів.

Схеми оптимальних приймачів для визначення по прийнятому коливанню y (t), 0 £ t ≤ T, який із сигналів був переданий, є багатоканальними узагальненнями відповідних схем розрізнення двох сигналів. У якості прикладу одержимо схему оптимального приймача (за критерієм ідеального спостерігача) розрізнення m детермінованих сигналів, прийнятих на фоні нормального білого шуму.

Розглянемо випадок, коли всі сигнали мають однакову енергію та рівні апріорні ймовірності передачі

.

(2.43)

Будемо вважати, що в реалізації y (t) є присутнім той із сигналів, апостеріорна ймовірність для якого максимальна, тобто приймаємо рішення про прийом
i -го сигналу, якщо для всіх j ¹ 1

.

(2.44)

При цьому забезпечується найбільша ймовірність правильного розрізнення для кожної прийнятої реалізації й, отже, максимальна повна (середня по реалізаціях) імовірність правильного рішення. Тому алгоритм розрізнення m сигналів, що мінімізує повну ймовірність помилки, повинен ухвалювати рішення щодо наявності в y (t), того із сигналів, для якого апостеріорна ймовірність максимальна.

При рівних апріорних ймовірностях передачі символів р (s_i), від порівняння апостеріорних ймовірностей р (s_i / y), можна перейти до порівняння функцій правдоподібності w (y / s_i), i = 1, 2, …, m. У цьому випадку оптимальне правило розрізнення m детермінованих сигналів рівної енергії на фоні гаусових шумів з спектральною щільністю потужності N ₀ може бути записане у вигляді

.

(2.45)

Відповідно до даного правила приймається рішення про передачу і -го сигналу, якщо для всіх j ¹ i, z_i ³ z_j.

Схема оптимального кореляційного приймача m детермінованих сигналів, прийнятих на фоні білого шуму, зображена на рис. 2.16. Приймач включає m ідентичних каналів (кореляторів).

У кожному каналі приймача визначається кореляційний інтеграл z_i для відповідного сигналу s_i (t). У пристрої порівняння визначається канал з максимальним значенням кореляційного інтеграла і якщо це є i канал, то приймається рішення про наявність у реалізації y (t) сигналу s_i (t).

Рис. 2.16. Структурна схема Рис. 2.17. Структурна схема

кореляційного приймача фільтрового приймача

Можливий також фільтровий варіант реалізації алгоритму (2.45). В цьому випадку корелятори в схемі (рис. 2.16) заміняються на узгоджені фільтри.

З порівняння схем оптимальних приймачів, призначених для розрізнення m детермінованих сигналів (рис. 2.16, 2.17) зі схемами оптимального прийому двох сигналів (рис. 2.1, 2.8) видно, що оптимальний приймач для розрізнення m сигналів є багатоканальним узагальненням відповідного приймача оптимального прийому двох детермінованих сигналів. Даний висновок має загальний характер, він залишається в силі і при оптимальному прийомі сигналів з випадковими параметрами.

Для випадку сигналів з випадковими початковими фазами рішення про наявність сигналу приймається на підставі порівняння між собою модулів кореляційних інтегралів

.

(2.46)

При виконанні нерівності (2.46) приймається рішення про наявність сигналу s_i (t).

Структурна схема оптимального некогерентного фільтрового приймача сигналів з випадковими початковими фазами показана на рис. 2.18.

Рис. 2.18. Структурна схема фільтрової обробки

Приймач включає m ідентичних каналів, кожний з яких складається з узгодженого фільтра та детектора згинаючої. Пристрій порівняння визначає канал з максимальним значенням напруги в момент закінчення сигналу і якщо це є i канал, то приймається рішення про наявність у реалізації y (t) сигналу s_i (t).

2.5.1. Ймовірність помилки оптимального когерентного прийому багатопозиційних сигналів

Відповідно до оптимального правила рішення про те, який із сигналів s_i (t),
i =1, m, був переданий, приймається на основі аналізу (m - 1) нерівностей (2.45). Помилка при прийомі сигналу виникає тоді, коли нерівність (2.45) не виконується хоча б для одного i ≠ j.

Нехай z ₁, z ₂, …, z_m – напруги на виходах каналів оптимального приймача, a w_m (z ₁, z ₂, …, z_m / s_i) – m -мірна щільність імовірності сукупності випадкових величин z ₁, z ₂, …, z_m за умови, що на вхід приймача поступив сигнал s_i (t). Тоді з урахуванням алгоритму роботи оптимального приймача ймовірність правильного прийому сигналу

.

(2.47)

Відповідно при передачі сигналу s_i (t) імовірність помилки .

Повна ймовірність помилки за інших рівних умов залежить від ансамблю застосовуваних сигналів s_i (t), i =1, m. Існує нескінченно велика кількість систем сигналів, що відрізняються одна від іншої індивідуальними та спільними властивостями. Для практики представляє інтерес система сигналів, що забезпечує максимальну завадостійкість при заданих апріорних умовах передачі.

Можна показати, що для завади типу білого гаусового шуму завадостійкість системи залежить від відстаней між сигналами:

,

(2.48)

причому чим більша найменша із цих відстаней, тим вище завадостійкість системи.

Якщо сигнали мають однакову енергію Е, то вираз (2.48) спрощується:

,

(2.49)

де – коефіцієнт взаємної кореляції сигналів s_i (t) та s_j (t).

З виразу (2.49) витікає, що для досягнення більшої відстані коефіцієнт взаємної кореляції повинен бути якнайменший. Для забезпечення однакової ймовірності правильного прийому будь-якого повідомлення всі коефіцієнти r_ij мають бути однаковими, тобто r_ij = r ₀ для всіх i та j, i ≠ j. Значення r ₀ задовольняє нерівності r ₀ ≥ -1/(m -1), що випливає з наступного співвідношення:

.

(2.50)

Для оптимальної системи сигналів

.

(2.51)

Сигнали s_i (t), i =1, m, що задовольняють умові

(2.52)

називаються симплексними,оскільки в (m -1) - мірному просторі вони утворять правильний симплекс із числом вершин т. Симплексні сигнали є еквідістантними, тобто для всіх пар сигналів s_i (t) та s_j (t) відстань між ними однакова.

На практиці часто застосовують ортогональні сигнали, для яких

(2.53)

При більших значеннях т ортогональні сигнали по завадостійкості близькі до симплексних. Це слідує з того, що значення r ₀, обумовлене формулою (2.51), при збільшенні т прагне до нуля. Ортогональні сигнали з рівною енергією також є еквідістантними.

Ортогональні сигнали можна отримати різними способами. При застосуванні частотної маніпуляції частоту сигналів вибираються з умови забезпечення їх ортогональності. Ортогональні сигнали також можуть бути сформовані шляхом фазової маніпуляції носійного коливання ортогональними кодами. Самі коди будують з використанням рядків або стовпців матриць Адамара або на основі системи функцій Уолша.

Симплексні сигнали можуть бути отримані на основі симплексних кодів. Розглянемо рівномірний код з основою 2 та довжиною т. Нехай його кодові комбінації представляють послідовності з т символів, що приймають значення
-1 і 1. Коефіцієнт взаємної кореляції між будь-якою парою комбінацій b_i, і b_j може бути визначений за формулою

.

Зажадаємо, щоб коефіцієнти взаємної кореляції r_ij = r ₀, i, j = 1, 2, … m; i ≠ j. Можна показати, що

Код, для якого всі пари кодових комбінацій мають коефіцієнти взаємної кореляції

називається симплексним. Симплексні коди можна побудувати на основі матриць Адамара. Симплексні сигнали також можуть бути сформовані шляхом фазової маніпуляції носійного коливання симплексними кодами.

Іншою системою, близькою при т >> 1 до симплексної, є біортогональна система сигналів s_i (t), i =1, m (т - парне число), що характеризується тим, що для кожного сигналу s_i (t) існує протилежний сигнал – s_i (t), а інші сигнали ортогональні сигналу s_i (t).

Визначити завадостійкість т - них систем у загальному випадку складно. Однак для равноймовірних симплексних, ортогональних і біортогональних сигналів вираз (2.47) істотно спрощується та зводиться до однократного інтеграла, який може бути оцінений за допомогою чисельних методів. Приведемо та проаналізуємо вираз для ймовірності помилки прийому ортогональних сигналів.

Сумарна ймовірність помилки при розрізненні m ортогональних детермінованих сигналів, які мають однакову апріорну ймовірність та однакову енергією визначається співвідношенням

.

(2.54)

_____________________________________________________________________________________________________________

Симплекс або n-симплекс (від лат. simplex — простий) — геометрична фігура, що є n-мірним узагальненням трикутника. Визначається як опукла оболонка n +1 крапок, які не лежать в одній n-мірній гіперплощині. Ці крапки називаються вершинами симплекса. Зокрема: 0-симплекс це крапка; 1-симплекс це відрізок; 2-симплекс це трикутник; 3-симплекс це тетраедр.

На рис. 2.19 наведені криві завадостійкості когерентного прийому ортогональних сигналів для т = 2, 4, 16 і 256. Аналіз графіків показує, що при всіх інших однакових умовах збільшення числа каналів супроводжується збільшенням імовірності помилки прийому. Фізично це пояснюється тим, що при більшому числі каналів збільшується ймовірність того, що значення шуму на виході якого-небудь із каналів при t = T перевищить значення вихідної напруги в каналі, що відповідає корисному сигналу разом із шумом. До такого ж висновку формально можна прийти на підставі якісного аналізу формули (2.54). Значення підінтегрального виразу в (2.54) більше нуля, причому 0 < Ф (х) < 1. Тому зі збільшенням т значення інтеграла зменшується, а ймовірність повної помилки Р_пом зростає.

Рис. 2.19. Криві завадостійкості для когерентного прийому

Однак це не означає, що потенційна завадостійкість систем т - сигналів менше, ніж двійкових. При порівнянні систем необхідно мати на увазі, що кожний з т равноймовірних сигналів несе в log₂ m раз більшу кількість інформації, порівняно з двійковими сигналами, або при тій же швидкості передачі інформації має в log₂ m більшу тривалість.

Можна показати, що для ймовірності помилки є справедливою наступна верхня границя:

.

(2.55)

При фіксованому m граничне значення Р_пом наближається до істинного зі збільшенням відношення сигнал/шум q ². Для значень Р_пом ≤ 10^-3 імовірність помилки добре апроксимується верхньою границею (2.55). При m = 2 в (2.55) має місце знак рівності, що витікає з формули (5.36).

Розглянемо приклад застосування формули (2.54).

Нехай у системі передачі інформації може передаватися один із двох детермінованих, рівноймовірних та ортогональних елементарних сигналів s ₁(t) і s ₀(t), кожний з яких має потужність Р, постійну тривалість Т та енергію Е = РТ. Позначимо умовно елементарні сигнали s ₁(t) і s ₀(t) через 0 і 1. Робота системи передачі інформації при використанні сигналів s ₁(t) і s ₀(t) може здійснюватися по-різному.

1. На протязі кожного інтервалу часу Т передається та ухвалюється рішення щодо передачі одного із двох елементарних сигналів: 0 або 1 (поелементний прийом). Завадостійкість оптимального поелементного прийому різних видів радіосигналів визначається формулою (2.30).

2. На протязі інтервалу 2Т з енергією 2Е = 2РТ передається один із т = 4 ортогональних сигналів s_ij (t) = { s_i (t), s_j (t)}, i, j = 1,2:

Приймальний пристрій ухвалює рішення щодо переданого сигналу s_ij (t) на протязі інтервалу 2Т, таким чином, що ухвалюється рішення щодо однієї із
т = 4 пар символів: 00, 01, 10, 11.

3. У більш загальномувипадку по системі передачі інформації може передаватися один з т ортогональних сигналів (які складають кодове «слово» або цифру) протягом часу , причому енергія кожного сигналу буде рівна P . Стосовно даного випадку формула (2.54) буде мати вигляд

.

(2.56)

На рис. 2.20 наведені результати чисельних розрахунків по формулі (2.56). Вище деякого значення РТ / N ₀ ймовірність помилки зменшується зі збільшенням т; нижче цього значення спостерігається зворотний характер поведінки кривих. Цікавий граничний результат

Отже, має місце граничний ефект.

Значення Т визначається швидкістю передачі інформації R = 1/ Т. При використанні ортогональних сигналів для

(2.57)

імовірність помилки дорівнює нулю. Однак при т → ∞ необхідно мати нескінченно велику смугу пропускання каналу.

Відзначимо, що результат (2.57), отриманий для ортогональних сигналів, узгоджується з відомою теоремою Шеннона. Права частина нерівності (2.57) визначає границю для швидкості безпомилкової передачі інформації будь-якої системи передачі. Цю границю прийнято називати пропускною здатністю каналу з адитивним білим гауссовським шумом і нескінченною смугою пропускання

.

Рис. 2.20. Ймовірність помилки при оптимальному прийомі m детермінованих ортогональних сигналів

Отже, ортогональні сигнали асимптотично (при необмеженому зростанні т)проявляють найкращі можливі характеристики, тому що забезпечують неспотворену передачу зі швидкістю, що наближається до пропускної здатності каналу передачі.

Системи ортогональних сигналів з т > 2 дозволяють забезпечити при однаковій швидкості передачі інформації істотний енергетичний виграш в порівнянніі з двійковими сигналами. Так, при т = 32 і Р_пом = 10^-5 він становить майже два рази (3 дБ).

Платою за енергетичний виграш є збільшення ширини смуги частот, займаною СПІ, і ускладнення приймача, який для сигналів з однаковими енергіями містить т кореляторів (по числу сигналів) та вирішуючий пристрій.

Імовірність помилки (2.54), тобто ймовірність неправильного приймання кодового слова, можна трактувати як імовірність того, що неправильно прийнятий хоча б один з елементарних сигналів, що утворюють дане слово. Порівняємо цей результат із поелементним прийомом k послідовних елементарних ФМ радіосигналів у симетричній когерентній двійковій системі передачі, коли ймовірність помилки при прийманні кожного з елементарних сигналів визначається формулою (23):

.

Імовірність правильного приймання k послідовних елементарних сигналів рівна . Отже, імовірність помилкового прийому хоча б одного з k елементарних сигналів при застосуванні двійкової когерентної ФМ дорівнює

.

(2.58)

На рис. 2.21 показані для порівняння ймовірності помилок, обчислені по формулах (43) і (1.21) для k = 5. Видно, що при фіксованих значеннях R, N ₀ і P_пом =10^-5 необхідна потужність кодованих ортогональних сигналів зменшується приблизно у два рази. Інакше, при фіксованих значеннях P, N ₀ і P_пом =10^-5 застосування кодування дає можливість приблизно подвоїти швидкість передачі інформації. Зі збільшенням k відзначені переваги зростають.

Імовірність помилки для ортогональних сигналів з випадковими початковими фазами при m канальному некогерентному прийомі може бути оцінена верхньою границею

.

(2.59)

Рис. 2.21. Ймовірність помилки прийому ортогональних (кодованих) сигналів (1) та двійкових ФМ сигналів (2) при k = 5

Рис. 2.22. Ймовірність помилки некогерентного прийому ортогональних сигналів

Таким чином, розрахунки показують (рис. 1.10), що оптимальний некогерентний приймач m сигналів несуттєво відрізняється своєю завадостійкістю від когерентного приймача.

2.5.2. Векторне подання ФМ-М сигналів

Зростання ймовірності помилки при використанні багатопозиційної фазової маніпуляції ФМ-М можна наглядно пояснити використовуючи векторне подання таких сигналів. Зробимо це для М = 2, 4, 8 і 16 (рис. 2.23).

Для ФМ-2 на рис. 2.23, а показані протилежні сигнали s ₁ і s ₂, кут між якими дорівнює 180°. Границя областей прийняття рішень розділяє простір сигналів на дві області. На рисунку також показаний вектор шуму n, рівний, в даному випадку, по амплітуді сигналу s ₁. Для зазначеного напрямку вектора шуму дана напруга шуму є мінімальною, при якій демодулятор може допустити символьну помилку.

На рис. 2.23, б бачимо вектори, розташовані один по відношенню до іншого під кутом 90°, які відповідають ФМ-4 сигналу. Границі областей рішень (на малюнку зображена тільки одна) ділять сигнальний простір на чотири області.

Тут також зображений вектор шуму n (початок — у вершині вектора сигналу, напрямок перпендикулярний найближчій границі областей рішень), що є вектором мінімальної енергії, достатньої, щоб демодулятор припустився символьної помилки. Відзначимо, що вектор шуму мінімальної енергії на рис. 2.23, б менше вектора шуму на рис. 2.23, а, що свідчить про меншу завадостійкість ФМ-4 сигналів до шуму, у порівнянні з бінарною (енергії сигналів в обох випадках одинакові). Вивчаючи рис. 2.23, в, г, можна відзначити наступну закономірність. При багатофазній передачі сигналів у міру росту величини М на сигнальній площині розміщуються усе більше сигнальних векторів. У міру того як вектори розташовуються щільніше, для появи помилки потрібно усе меншу енергію шуму.

s 2

s 1

n

Границя області рішень (ГОР)

s 3

s 1

n

s 2

s 4

n

n

n

ГОР

ГОР

ГОР

M = 2 M = 4 M = 8 M = 16

а) б) в) г)

Рис. 2.23. Набори сигналов ФМ-М для М = 2, 4, 8, 16

Рис. 2.23 дозволяє поглянути на природу компромісів при багатофазній передачі сигналів. Розміщення більшого числа векторів сигналів у сигнальному просторі еквівалентно підвищенню швидкості передачі даних без збільшення ширини смуги каналу (всі вектори обмежуються однієї й тією же площиною). Інакше кажучи, ми підвищили ефективність використання смуги за рахунок імовірності помилки. Розглянемо рис. 2.23, г, де з наведених варіантів імовірність помилки є найвищою. Чим ми може заплатити, щоб "викупити" зрослу ймовірність помилки? Іншими словами, чим ми можемо поступитися, щоб відстань між сусідніми векторами сигналів на рис. 2.23, г стало таким же, як на рис. 2.23, а? Ми можемо збільшувати потужність сигналу (зробити вектори сигналів довшими), поки мінімальна відстань від вершини вектора сигналу до лінії рішень не стане рівною розміру вектора шуму на рис. 2.23, а. Таким чином, для багатофазної модуляції в міру росту М ми можемо збільшувати продуктивність смуги або за рахунок підвищення ймовірності помилки, або за рахунок збільшення відношення сигнал/шум.

Відзначимо, що на схемах, зображених на рис. 2.23, для різних значень М, всі вектори мають однакову амплітуду. Це рівносильно твердженню, що порівняння різних схем виконується при фіксованому відношенні E_s / N ₀, де E_s – енергія символьної посилки сигналу. Порівняти схеми можна зробити також при фіксованому відношенні E_b / N ₀, у цьому випадку довжини векторів будуть збільшуватися з ростом М. При М = 4, 8 і 16 довжини векторів будуть, відповідно, в , і 2 рази більше векторів для випадку М = 2. Як і в попередньому випадку, з ростом М буде зменшуватись завадостійкість, але вона не буде такою явною, як на рис. 2.23.