Критерії оптимальності

У найпростішому випадку приймається рішення про прийом сигналу, для якого апостеріорна ймовірність максимальна. Однак більше загальними є критерії, при яких якість прийому визначається не просто ймовірністю помилки, а з урахуванням небезпеки наслідків помилок різного роду.

При передачі двійкових сигналів можливі ситуації:

1. Переданий й прийнятий безпомилково сигнал s ₀(t). Імовірність такої події

,

де P (s ₀) – апріорна ймовірність факту передачі сигналу s ₀(t);

P (s^* ₀/ s ₀) – умовна ймовірність безпомилкового прийняття сигналу s ₀(t).

2. Переданий й прийнятий безпомилково сигнал s ₁(t). Імовірність такої події

,

де P (s ₁) – апріорна ймовірність факту передачі сигналу s ₁(t);

P (s^* ₁/ s ₁) – умовна ймовірність безпомилкового прийняття сигналу s ₁(t).

3. Переданий сигнал s _o(t), а прийнято рішення про прийом сигналу s ₁(t) (помилка першого роду). Імовірність такої події

,

де P (s^* ₁/ s ₀) = F – умовна ймовірність помилкового прийняття сигналу s ₁(t), якщо передано сигнал s ₀(t).

4. Переданий сигнал s ₁(t), а прийнято рішення про прийом сигналу s ₀(t) (помилка другого роду). Імовірність такої події

,

де P (s^* ₀/ s ₁) = 1 - D - умовна ймовірність прийняття сигналу s ₀(t),якщо передано сигнал s ₁(t).

Відповідно до критерію мінімуму середнього ризику залежно від значимості помилок першого та другого роду кожній з них ставиться у відповідність певний ваговий коефіцієнт (плата за помилку) r_i. Величина середньої плати (середнього ризику) дорівнює

.

(2.3)

Оптимальним по критерії мінімуму середнього ризику буде приймач, який забезпечує мінімальне значення величини середнього ризику .

Критерій мінімуму середнього ризику має досить загальний характер. З нього, зокрема, випливають широко використовувані відповідно в радіолокації й техніці передачі даних ваговий критерій (критерій Неймана-Пірсона) та критерій ідеального спостерігача.

У системах передачі інформації помилки першого та другого роду мають однакову значимість. У цих умовах, поклавши , знаходимо, що середній ризик дорівнює сумарної ймовірності помилок першого й другого роду, тобто

.

(2.4)

Умова мінімуму даної ймовірності називається критерієм ідеального спостерігача (Котельникова-Зігерта). Відповідно до цього критерію оптимальним є прийомний пристрій, що забезпечує найменшу безумовну ймовірність помилки тобто найбільшу апостеріорну ймовірність правильного прийому.

Визначимо правило, відповідно до якого оптимальний по критерію ідеального спостерігача приймальний пристрій буде видавати рішення про прийом того чи іншого сигналу. Для цього вираз (2.4) представимо у вигляді

,

(2.5)

де 1

.

(2.6)

Розіб’ємо простір сигналів V_y на дві області, що не пересікаються, А ₁ та А ₀, кожна з яких відповідає прийняттю відповідної гіпотези про те, який сигнал був переданий.

Величини D і F характеризують умовні ймовірності того, що реалізація прийнятого сигналу y (t) виявиться в області А ₁ ухвалення рішення про те, що передано сигнал s ₁(t), при передачі сигналів s ₁(t) та s ₀(t) відповідно. Відповідно до цього вирази для D і F можна записати у вигляді

;
.

Тепер вираз може бути представлений в наступному вигляді

,

(2.7)

де – відношення правдоподібності, тобто відношення щільностей імовірності однієї й тієї ж реалізації прийнятих коливань при двох умовах, наявності сигналу s ₁(t) та s ₀(t) відповідно. Відношення правдоподібності, (19) характеризує правдоподібність гіпотез про присутність сигналів.

Для одержання максимуму (2.7) необхідно, щоб область інтегрування А ₁ охоплювала лише ті значення y (t), при яких підінтегральна функція позитивна. Відповідно до цього для області А ₁ (тобто для області видачі рішення про передачу сигналу s ₁(t)) повинна бути справедливою нерівність . Відповідно рішення про передачу сигналу s ₀(t) приймається при .

Так, як щільність ймовірності w (y / s ₀) більше нуля, то найбільше значення (2.7) досягається при найбільших значеннях добутку для кожної із реалізацій y. Значення добутків для можливих значень і рівні відповідно > 0 і 0. Якщо , то більшим є значення , що досягається при рішенні і є кращим в цьому випадку. Якщо , то більшимє значення 0, що досягається при рішенні . Якщо , то вибір рішення несуттєвий.

Оскільки вибір значень шуканої функції обмежується одиницею та нулем, найбільше значення критерію (16.11) забезпечується:

При > 0, якщо ;

При <0, якщо ;

При множнику = 0 вибір несуттєвий.

Таким чином, правило, по якому прийомний пристрій видає рішення про прийом того чи іншого сигналу може бути записано наступним чином

(2.8)

Необхідність значення апріорних ймовірностей P (s ₀) і P (s ₁) у деяких випадках затрудняє використання критерію ідеального спостерігача. Для систем передачі інформації останнє несуттєво, оскільки передача символів "0" та "1", як правило,є рівноймовірними подіями. Для даного випадку , тому З врахуванням зазначеного правило (2.8) запишемо у вигляді

(2.9)

Відповідно до правила (2.9) приймальний пристрій обчислює значення функцій правдоподібності w (y / s_i), i = 1, 0 та вибирає той символ ("0" або "1"), для якого значення функції правдоподібності більше.