Оцінка завадостійкості прийому двійкових детермінованих сигналів

Обчислимо ймовірність помилкового прийому двійкового сигналу (символу двійкового коду) при оптимальному прийомі

.

(2.26)

Для цього необхідно знати умовні ймовірності та .

Представимо правило оптимального розрізнення двійкових сигналів за критерієм ідеального спостерігача (2.14) у наступному вигляді

.

(2.27)

Відповідно до (2.27) рішення про наявність сигналу s ₁(t) приймається при
g ≥ 0, при g < 0 приймається рішення про наявність сигналу s ₀(t).

Рішення про наявність сигналу s ₁(t) або s ₀(t) приймається за значенням випадкової величини g. Отже для обчислення умовних ймовірностей та необхідно знати закон розподілу або щільність імовірності розподілу випадкової величини g.

Нехай в складі прийнятої реалізації y (t) є присутнім сигнал s ₁(t), тобто
y (t) = s ₁(t) + n (t). Тоді випадкова величина

будемо мати нормальну щільність розподілу імовірності w ₁(g) з наступними характеристиками:

,

де

(2.28)

– коефіцієнт взаємної кореляції сигналів s ₁(t) і s ₀(t);

– відношення енергії сигналу Е до спектральної щільності потужності шуму N ₀ (відношення сигнал/шум, signal-to-noise ratio – SNR).

Якщо є присутнім сигнал s ₀(t), тобто y (t) = s ₀(t) + n (t), то випадкова величина

буде мати нормальну щільність імовірності w ₀(q) з характеристиками

.

Щільності розподілу імовірності w ₁(q) та w ₀(q) зображені на рис. 2.10.

Використовуючи приведені викладки умовні ймовірності , можуть бути визначені в такий спосіб:

.

З огляду на Р (s ₁) = Р (s ₀) = 0,5 імовірність сумарної помилки

.

(2.29)

Рис. 2.10. Щільності розподілу імовірності w₁(g) та w₀(g)

Обчислення (2.29) для нормального розподілу завади (сигналу та завади) і детермінованих сигналів дає для розрахунку потенційної (для оптимального прийому) помилки прийому двох детермінованих сигналів s ₁(t) і s ₀(t) з однаковими ймовірностями передачі та однаковою енергією на фоні флуктуаційної стаціонарної завади з нормальним законом розподілу та постійною спектральною щільністю потужності N ₀ (нормальний білий шум) формулу

(2.30)

де - інтеграл імовірності (табульована функція).

В англоязичній літературі ймовірність помилкового прийому символу двійкового коду при оптимальному прийомі позначають буквами BER (bit error).

Використовуючи представлення інтегралу ймовірності у вигляді

(2.31)

формулу (1.15) можна замінити більш простою, але менш точною формулою

(2.32)

яка забезпечує точність розрахунків не гірше 10%, якщо .

Отже, при відомому відношенні сигнал/шум обчислення ймовірності повної помилки для детермінованих сигналів з однаковими ймовірностями передачі та однаковими енергіями зводиться до визначенню коефіцієнта взаємної кореляції між ними. Так, як інтеграл імовірності Ф (х) є монотонною зростаючою функцією аргументу, то при однаковому відношенні сигнал-шум найбільшою завадостійкістю (меншою ймовірністю помилки P_пом) характеризуються сигнали, для яких коефіцієнт взаємної кореляції мінімальний.

Коефіцієнт взаємної кореляції r_s, може змінюватися від - 1 (при s ₁(t) = - s ₀(t)) до + 1 (при s ₁(t) = s ₀(t)). У тому випадку, коли r_s= 0, говорять, що сигнали ортогональні. Умова ортогональності записується у вигляді:

(2.33)

Очевидно, що однакові сигнали (r_s = l) неможливо розрізнити. Тому в даному випадку P_пом = 1 - Ф (0) = 0,5 досягає максимального значення. Навпаки, якщо сигнали однакові за формою та протилежні за знаком (r_s = -1), то їх розрізнити легше, ніж будь-які інші два сигнали (наприклад, ортогональні). Сказане ілюструється рис. 2.11, на якому представлені результати розрахунків по формулі (2.30).

Криві, що характеризують залежність імовірності загальної помилки P_пом від відношення сигнал/шум при оптимальних методах прийому детермінованих сигналів, у радіозв'язку прийнято називати кривими потенційної завадостійкості.

Раніше наголошувалось, що максимум величини 1 - r_s, а отже, і мінімум P_пом відповідає r_s = - 1. Таким коефіцієнтом кореляції володіють сигнали з фазовою маніпуляцією зі зсувом фаз 180⁰. У цьому випадку

.

(2.34)

Графік даної функції представлений на рис. 2.12.

Рис. 2.11. Залежність P_пом від коефіцієнта Рис. 2.12. Залежність P_пом від

взаємної кореляції відношення сигнал шум

Ця найменша ймовірність помилки відповідає будь-якій системі передачі двійкових повністю відомих сигналів, у якій сигнали s ₁(t) і s ₀(t) протилежні, тобто s ₁(t) = - s ₀(t).

При r_s = 0 (для двійкових систем з ортогональними сигналами) величина мінімальної ймовірності помилки дорівнює

.

(2.35)

Графік цієї функції також представлений на рис. 2.12.

Прикладом двійкової системи з ортогональними сигналами є система передачі, яка використовує прості двійкові частотно-маніпульовані сигнали за умови, що частоти їх заповнення кратні 1/ Т.

Порівнюючи (2.34) і (2.35), приходимо до висновку, що перехід від системи з ортогональними сигналами до системи з оптимальними (протилежними) сигналами дозволяє в розглянутому каналі забезпечити незмінну якість зв'язку (імовірність помилки) при зниженні середньої потужності передавача в 2 рази, тобто фазова маніпуляція дає енергетичний виграш в 2 рази (3 дБ). Цей висновок випливає також з рис. 2.12.

Отримані співвідношення можуть бути використані також для розрахунку ймовірності помилки амплітудно-маніпульованого сигналу (сигналу з пасивною паузою). У цьому випадку необхідно врахувати зменшення відношення сигнал/шум у два рази за рахунок пасивної паузи. Для АМ сигналів

.

(2.36)

Графік цієї функції також представлений на рис. 2.12.

З (2.35) і (2.36) видно, що при рівних значеннях q ² мінімальні ймовірності помилки для систем передачі двійкових сигналів з повністю відомими амплітудно- і частотно-маніпульованими сигналами одинакові. Цього і слід було очікувати, оскільки при амплітудній маніпуляції виконується умова ортогональності сигналів.

При рівних же пікових потужностях сигналів і однакових значень N ₀ мінімальна ймовірність помилки при частотній маніпуляції значно нижче, ніж при амплітудній.

Як видно з (2.34), (2.35) і (2.36), величина P_пом при прийомі повністю відомих двійкових сигналів та заданому виді маніпуляції однозначно визначається величиною відношення сигнал/шум q ².

Порівняльна кількісна оцінка потенційної завадостійкості при розглянутих видах маніпуляції може бути зроблена по побудованим відповідно до кривим залежності P_пом (2.34), (2.35) і (2.36) від величини q ² (рис. 2.12).

З наведених формул і графіка (рис. 2.12) витікає, що найвищою завадостійкістю із двійкових сигналів характеризуються протилежні сигнали (сигнали з фазовою маніпуляцією), далі слідують сигнали з частотною маніпуляцією. Сигнали з амплітудною маніпуляцією мають саму найнижчу завадостійкість.

Якщо ж як критерій для порівняння прийняти потужність передавача, необхідну для забезпечення однакової вірогідності при заданому рівні флуктаційних шумів (N ₀ = const), то частотна маніпуляція виявляється вдвічі, а фазова - у чотири рази вигідніше амплітудної маніпуляції. В цьому випадку говорять, що частотна та амплітудна маніпуляції програють в енергії сигналу фазовій маніпуляції 3 та 6 дБ відповідно.

Таким чином, фазова маніпуляція, як і інші системи із протилежними сигналами, забезпечує максимальну для двійкової системи потенційну завадостійкість. Однак реалізація демодулятора для когерентного прийому таких сигналів має певні труднощі. При побудові кореляційного приймача (рис. 2.1) виникає проблема підтримки рівності фаз опорних сигналів та прийнятого сигналів. При використанні узгоджених фільтрів (рис. 2.8), то виникає не менш складне завдання узяття когерентного відліку. У практичних схемах когерентних демодуляторів опорні сигнали формується із прийнятого коливання. Способи такого формування будуть розглянуті пізніше.

Таким чином, одержані співвідношення для оцінки ймовірності помилкового прийому детермінованих сигналів показують, що:

величина помилок при оптимальному прийомі залежить від відношення енергії сигналів до спектральної щільності завади та від коефіцієнта кореляції сигналів (виду сигналів або виду модуляції);

для одержання одної і тої ж ймовірності помилок при прийомі протилежних сигналів потрібно в два рази менша енергія сигналів, ніж при прийомі ортогональних;

для обох типів сигналів спостерігається «пороговий ефект»: ймовірність помилок різко зменшується після того, як величина q ² стає більшою декількох одиниць.