Алгоритми оптимальної обробки при розрізненні двох детермінованих сигналів

Під оптимальною обробкою розуміють такі перетворення реалізацій прийнятого сигналу y (t), які дозволяють ухвалити рішення щодо переданого сигналу s_i (t) відповідно до заданого критерію оптимальності.

У процесі перетворення сигналу одержують величини, рівні або пропорційні значенням функції правдоподібності для реалізацій прийнятого сигналу y (t) або будь-які однозначні монотонні функції (наприклад, його логарифми). Далі ці величини порівнюються між собою відповідно до обраного критерію оптимальності.

Відповідно до правила (2.9) рішення про наявність сигналу s ₁(t) або s ₀(t) видаються відповідно до співвідношення функцій правдоподібності w (y / s ₁) та w (y / s ₀).

У загальному випадку визначення функції w (y / s_i) є досить складним завданням. Коли прийняте коливання являє собою адитивну суміш сигналу та завади (2.1), а багатомірні щільності ймовірності завади відомі, функція w (y / s_i) обчислюється порівняно легко.

Дійсно, так як сигнали s_i (t) повністю відомі, то щільність імовірності реалізації y (t) збігається із щільністю ймовірністю завади n (t), що дорівнює різниці y (t) - s_i (t), тобто щільність ймовірності розподілу для y (t) по виду збігається із щільністю ймовірності розподілу завади n (t) = y (t) - s_i (t).

Таким чином, можна написати

,

(2.10)

де w_n (x) - щільність імовірності розподілу завади.

Будемо вважати, що завада представляє собою внутрішній (тепловий) шум приймача. В свою чергу внутрішній шум приймача представимо як гаусів випадковий процес з нульовим математичним сподіванням та рівномірною в полосі пропускання приймача спектральною щільністю потужності шуму. Адитивний шум з постійною спектральною щільністю потужності називають білим шумом (AWGN – additive white Gaussian noise). Відповідно, канал передачі, завада в якому задана як білий шум називають АБГШ (AWGN) каналом.

Для гаусового білого шуму зі спектральною щільністю потужності N ₀ [Вт/Гц] можна записати

,

(2.11)

де C - постійний коефіцієнт.

Тоді відповідно до (2.10) і (2.11)) маємо

.

(2.12)

Відповідно до вирішуючого правила (2.9) потрібно порівнювати між собою значення функції правдоподібності w (y / s ₁) або w (y / s ₀). З огляду на вид щільності розподілу доцільно від порівняння значень функцій w (y / s_i) перейти до порівняння значень їхніх натуральних логарифмів.

У цьому випадку оптимальне правило розрізнення (2.9) може бути представлене в наступному вигляді

(2.13)

З даного правила безпосередньо випливає наступний алгоритм оптимальної обробки. Із прийнятого сигналу y (t) віднімаються зразки очікуваних сигналів s ₁(t) та s ₀(t). Отримані різниці підносяться до квадрату та інтегруються на протязі тривалості інформаційних посилок Т. Потім результати інтегрування порівняються. У результаті порівняння видається рішення про прийом того сигналу, для якого отримане значення інтеграла буде мінімальним.

Описаний алгоритм можна трохи спростити, якщо розкрити квадрат різниці в (2.13). У цьому випадку перша нерівність (2.13) перетвориться до виду

.

Аналогічне співвідношення можна записати і для другої нерівності (2.13). Подальше спрощення обробки можливо для випадку сигналів рівної енергії .

Тоді правило (2.13) запишеться в остаточному вигляді

(2.14)

Таким чином алгоритм оптимальної обробки при розрізненні двох детермінованих сигналів з однаковими ймовірностями передачі та однаковою енергією на фоні флуктуаційної стаціонарної завади з нормальним законом розподілу та постійною спектральною щільністю потужності N ₀ (нормальний білий шум) полягає в визначенні для i = 0, 1 значень інтегралу

(2.15)

та їх порівняння між собою. Видається рішення про передачу того сигналу s_i (t), для якого величина інтеграла більше.

Так, як інтеграл виду (2.15) визначає ступінь схожості (кореляції) прийнятого та очікуваного сигналів, тому він одержав назву кореляційного інтегралу.