Оптимальна обробка сигналів з випадковими початковими фазами

Розглянуті алгоритми оптимального прийому відповідають сигналам з відомими невипадковими параметрами. Однак, багато каналів передачі можна описати, як канали з із флуктуючою початковою фазою. Прикладами сигналів з випадковою початковою фазою бути частотно-маніпульовані сигнали, що формуються двома незалежними генераторами.

Розуміється, якщо фаза (або який-небудь інший параметр, що визначає апріорну інформацію, необхідну для когерентного прийому) прийнятого сигналу змінюється настільки повільно, що шляхом виміру (оцінювання) її можна досить надійно передбачити, оптимальний прийом в основному реалізується так само, як при точно відомому сигналі (з додаванням блоків оцінювання). Така ситуація характерна не тільки для багатьох канатів провідного, а і для деяких каналів радіозв'язку. Однак нерідко фаза змінюється досить швидко, і точну її оцінку одержати не вдається. Крім того, оцінка фази вимагає іноді застосування складних пристроїв. Тому навіть у тих випадках, коли принципово можна оцінити початкову фазу прийнятого сигналу, часом від цього відмовляються та використовують алгоритми, синтезовані для випадкової початкової фази сигналу. Такий метод приймання називається некогерентним. Алгоритм оптимального некогерентного приймання вперше отриманий Л.М. Фінком.

Розглянемо, як зміняться алгоритми оптимального прийому, структурні схеми приймачів та ймовірність помилки прийому таких сигналів порівняно з детермінованими сигналами.

2.4.1. Методика врахування випадкових параметрів сигналів при їхньому розрізненні

Раніше нами було встановлено, що відповідно до критерію максимуму функції правдоподібності приймається рішення про прийом того сигналу, для якого величина функції правдоподібності w (y / s_i) буде більшою.

При розгляді алгоритмів оптимального прийому детермінованих сигналів було враховано, що всі параметри сигналів відомі. З'ясуємо, які особливості в обчисленні щільності ймовірності w (y / s_i) з'являються для випадку, коли один або декілька параметрів сигналу є випадковими величинами. Модель прийнятого коливання в цьому випадку запишемо у вигляді

, і = 1, 0; 0 ≤ t ≤ T,

Якби параметри сигналу b_k, k = 1, 2, …, n були б постійними та відомими величинами, то оптимальний прийом здійснювався би відповідно до значень функцій правдоподібності w (y / s_i, b ₁, b ₂, …, b_n) для і = 1, 0. При випадковому характері параметрів b_k потрібно усереднити функції w (y / s_i, b ₁, b ₂, …, b_n) по всім можливим значенням їх параметрів:

(2.37)

де B_k - область всіх можливих значень параметра b_k;

w (b_k) - щільність ймовірності параметра b_k.

Функцію правдоподібності w (y / s_i, b ₁, b ₂, …, b_n) в даному випадку можна розглядати як часткову функцію правдоподібності розраховану для конкретних значень випадкових параметрів (b ₁, b ₂, …, b_n).

Таким чином, оптимальний прийом сигналів з випадковими параметрами зводиться до усереднення часткових функцій правдоподібності отриманих для фіксованих значень випадкових параметрів w (y / s_i, b ₁, b ₂, …, b_n) по всім можливим їх значенням та порівняння їх значень.

2.4.2. Алгоритм оптимальної обробки сигналів з випадковими початковими фазами

Для наочності розглянемо випадок прийому двійкових сигналів з випадковою початковою фазою. Такий прийом сигналів в літературі ще називають некогерентним. Запишемо модель сигналів у вигляді

, 0 ≤ t ≤ T,

де S ₀ – амплітуда коливання;

ω _і – носійна частота сигналу;

φ _i (t) – функція, що описує закон фазової (частотної) модуляції;

φ _i – початкові начальні фази, що представляють собою незалежні випадкові величини розподілені рівномірно на інтервалі [- π, π]:

.

Передбачається, що сигнали вузькосмугові (ширина спектру значно менше їх носійних частот), а також виконується умова .

Оскільки є один випадковий параметр – початкова фаза сигналу, то інтегрування по формулі (2.37) з врахуванням нормального розподілу завади (n (t) – нормальний білий шум) та однакових апріорних ймовірностей передачі символів двійкового коду дає

(2.38)

де С – постійний коефіцієнт, що не залежить від прийнятої реалізації y (t);

I ₀(x) – модифікована функція Бесселя нульового порядку;

– модуль кореляційного інтегралу, який обчислюється відповідно до виразів

(2.39)

де – квадратурні (різниця по фазі 90⁰) опорні сигнали

, .

(2.40)

Функція Бесселя I ₀(x) є монотонною функцією свого аргументу. Із цього витікає, що порівняння функцій правдоподібності, як цього вимагає оптимальне правило розрізнення, можливо замінити порівнянням значень її аргументів, а саме – модулів кореляційних інтегралів .

Таким чином оптимальне розрізнення сигналів з випадковими початковими фазами зводиться до обчислення для кожного з передбачуваних сигналів модулів кореляційних інтегралів і порівняння їхніх значень між собою. Даному правилу оптимального прийому при кореляційній обробці відповідає схема на рис. 2.13.

Рис. 2.13. Структурна схема оптимального кореляційного приймача розрізнення двох сигналів з випадковою початковою фазою

Фізично модуль кореляційного інтегралу представляє собою значення огинаючої суми сигналу s_i (t) та шуму n (t) в момент часу t = t ₀ +T на виході узгодженого з сигналом фільтра. Сказане означає, що оптимальна обробка сигналів з випадковими початковими фазами може бути реалізована за допомогою узгоджених фільтрів та детекторів згинаючої (рис. 2.15). В даному випадку порівняння миттєвих значень напруг на виході узгоджених фільтрів, як це мало місце при детермінованих сигналах, заміняється порівнянням значенням огинаючих вихідних коливань узгоджених фільтрів u_i (t) в момент часу t = t ₀ +T.

Рис. 2.15. Структурна схема оптимального фільтрового приймача розрізнення двох сигналів з випадковою початковою фазою

Рис. 2.15. Ймовірність помилки для двох детермінованих сигналів (суцільні лінії) і сигналів з випадковою початковою фазою (штрихові лінії)

Для розрахунок імовірності помилки при некогерентному оптимальному прийомі двох ортогональних двійкових сигналів рівної енергії використовують формулу

.

(2.41)

Результати розрахунків по формулі (2.41) для різних значень q ² представлені на рис. 2.15 у вигляді штрихових ліній. Порівнюючи вирази (2.30) і (2.41) при однаковому значенні ймовірності помилки, можна встановити, який енергетичний програш має некогерентний прийом у порівнянні з когерентним. Розрахунки показують, що для забезпечення P_пом = 10^-3… 10^-6 при некогерентному прийомі потрібно збільшити енергію сигналів на 15... 30% у порівнянні з когерентним