Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число

Рассмотрим определители для матриц первого, второго и третьего порядков:

а) Пусть А= (а11), тогда (1)

Из формулы (1) следует, что определитель для матрицы первого порядка совпадает с элементом матрицы

б) Пусть ,тогда (2)

Из формулы (2) следует, что определитель для матрицы второго порядка равен разности произведений элементов матрицы, стоящих на главной и побочной диагоналях.

в.) Пусть , тогда (3)

Для удобства запоминания формулы (3) можно использовать «правило треугольников», которое условно показано на схемах 1 и 2.

схема 1 схема 2

Первые три слагаемые, входящие в формулу (3) со своим знаком, подсчитываются в соответствии со схемой 1, а следующие три слагаемые, входящие с противоположным знаком, подсчитываются по схеме 2.

Алгебраическим дополнением элемента а_ij квадратной матрицы называется число А_ij, вычисляемое по формуле:

где M_ij –определитель, полученный из определителя матрицы удалением строки с номером i и столбца с номером j.

Матрица А^-1 называется обратной к матрице А, если

, где Е - единичная матрица. Из определения следует, что матрицы А и А^-1 - квадратные матрицы одного порядка. Квадратная матрица имеет обратную, если ее определитель отличен от нуля и , где А_ij -алгебраические дополнения элемента а_ij матрицы .

Рассмотрим матричное уравнение , где А и В - заданные матрицы, причем А - квадратная матрица, определитель которой не равен . Тогда .

Для уравнения , где А и В - заданные матрицы, причем А - квадратная матрица, определитель которой не равен нулю, имеем .