Определение показателей надежности и суммарного риска усовершенствованной системы

Ориентированный граф состояний ремонтируемой системы с постоянно включенным резервом изображен на рисунке 6. Он имеет 21 узел. Направление стрелок сверху вниз соответствует отказовым переходам, а снизу вверх – восстановлению элементов. На графе кружками отмечены исправные состояния, а квадратами – отказовые.

Рисунок 6 – Граф состояний восстанавливаемой системы

Интенсивности отказового перехода из каждого узла равны соответственно , , , , умноженным на число исправных элементов данной резервной группы. Интенсивности ремонта для четвертой и пятой подсистем равны соответственно и . Согласно заданной дисциплине обслуживания первыми восстанавливаются элементы четвертой подсистемы, а затем – элементы пятой подсистемы.

Для удобства записи уравнений пронумеруем узлы графа в естественном порядке. Тогда узлы (0), (1), (3), (7), (9) соответствуют исправным, а остальные узлы – отказовым состояниям. По графу составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая в данном случае имеет вид:

Считая, что при все элементы системы исправны, получаем начальные условия: , , .

Необходимо привести значения интенсивности переходов к одной размерности. Для этого следует интенсивности восстановления элементов умножить на 8760, что соответствует переводу 1 часа в годы.

Поэтому

Систему уравнений решим численно с использованием метода Рунге-Кутты.

Метод состоит в следующем:

Определим начальные значения искомой функции

• Запишем уравнения:

• Находим решение с помощью следующей функции:

Z= Radau (p,x₁,x₂,n,D),

где

p - вектор начальных условий

x₁,x₂ - границы интервала для поиска решения

n - количество точек на интервале

D(x,y) - вектор-функция первых производных.

В нашем случае:

В результате получим:

Таблица 2. Вероятности и их значения

Таблица 3. Вероятность безотказной работы системы

Для определения наработки на отказ составим следующую систему линейных алгебраических уравнений:

Для численного решения линейных систем уравнений в MathCAD имеется специальная функция:

Lsolve(A,B). Она решает систему линейных алгебраических уравнений вида A x X=B, выдавая решение – вектор Х.

А- матрица коэффициентов размерности (n x n);

B- вектор свободных членов размерности n;

Х-вектор неизвестных пока решений.

В нашем случае:

Решение этой системы дает следующие результаты:

Следовательно, среднее время безотказной работы равно:

Найдем суммарный риск системы в соответствии с формулой (1.18). Для этого по графу необходимо найти все состояния отказа и для каждого из них определить номер элемента, отказ которого привет к отказу системы. Соответствие отказов состояний и номеров отказавших элементов приведено в таблице 4.

Таблица 4. Номер элемента и состояний

Номер состояния	Номер элемента	Номер состояния	Номер элемента
		-	-
		-	-
		-	-
		-	-
		-	-
		-	-

По формуле 1.18 получим:

R(1.2)= 29.6965

Выводы

По результатам проведенных исследований составлена таблица 5, в которой содержатся значения показателей надежности и риска системы для постоянно включенного резерва.

Таблица 5. Значения показателей надежности и риска резервированной системы

Система	Показатели надежности	Риск системы R(1.2)
P(1.2)	Т1,лет
Неремонтируемая	0.3606	1.1765	42.9028
Ремонтируемая (неограниченное восстановление)	0.43145	1.4275	32.597
Ремонтируемая (ограниченное восстановление)	0.4316	1.428	29.6965

Из сводной таблицы видно, что при использовании неремонтируемой системы увеличивается риск системы, но при этом уменьшается вероятность безотказной работы системы и среднее время безотказной работы, по отношению к двум другим системам.

Резервирование повышает надежность системы. Это видно из следующих данных:

вероятность безотказной работы нерезервированной системы Р(1.2)= 0.3606, ниже чем для резервированной системы Р(1.2)= 0.43145; среднее время безотказной работы системы нерезервированной системы Т₁=1.1765 ниже, чем при резервированной системы Т₁=1.4275, риск нерезервированной системы R(1.2)= 42.9028 выше, чем у резервированной системы R(1.2)= 29.6965.

Также был рассмотрен метод повышения надежности при помощи восстановления отказавших элементов.

Восстановление- это событие, заключающее в переходе объекта из неработоспособного в работоспособное состояние, в результате устранения отказа путем перестройки структуры, ремонта или замены отказавших частей.

Из таблицы видно, что система неремонтируемая имеет больший риск, по сравнению с ремонтируемыми системами, причем с неограниченным восстановлением риск больше, чем с ограниченным восстановлением. Возможность ремонта элементов приводит к уменьшению кратности резервирования и сокращению объема оборудования.

Вар.	n	m	t, лет	Характ.	Элем. 1	Элем. 2	Элем. 3	Элем. 4	Элем. 5
			1,9	Т, лет					−
Тв, час					−
r, у. е.					−

Вар.	n	m	t, лет	Характ.	Элем. 1	Элем. 2	Элем. 3	Элем. 4	Элем. 5
			1,8	Т, лет					−
Тв, час					−
r, у. е.					−

Вар.	n	m	t, лет	Характ.	Элем. 1	Элем. 2	Элем. 3	Элем. 4	Элем. 5
				Т, лет					−
Тв, час					−
r, у. е.					−

Вар.	n	m	t, лет	Характ.	Элем. 1	Элем. 2	Элем. 3	Элем. 4	Элем. 5
			1,6	Т, лет
Тв, час
r, у. е.

Вар.	n	m	t, лет	Характ.	Элем. 1	Элем. 2	Элем. 3	Элем. 4	Элем. 5
			1,9	Т, лет					−
Тв, час					−
r, у. е.					−

Вар.	n	m	t, лет	Характ.	Элем. 1	Элем. 2	Элем. 3	Элем. 4	Элем. 5
			1,1	Т, лет					−
Тв, час					−
r, у. е.					−

Вар.	n	m	t, лет	Характ.	Элем. 1	Элем. 2	Элем. 3	Элем. 4	Элем. 5
			1,4	Т, лет
Тв, час
r, у. е.

Вар.	n	m	t, лет	Характ.	Элем. 1	Элем. 2	Элем. 3	Элем. 4	Элем. 5
			1,2	Т, лет					−
Тв, час					−
r, у. е.					−

Вар.	n	m	t, лет	Характ.	Элем. 1	Элем. 2	Элем. 3	Элем. 4	Элем. 5
			1,1	Т, лет					−
Тв, час					−
r, у. е.					−

Вар.	n	m	t, лет	Характ.	Элем. 1	Элем. 2	Элем. 3	Элем. 4	Элем. 5
			1,5	Т, лет					−
Тв, час					−
r, у. е.					−