Надежность и риск резервированной системы, состоящей из зависимых по восстановлению подсистем

Для систем, образованных из зависимых по восстановлению подсистем, не существует простых соотношений типа (1.11) и (1.12) для расчета ее показателей надежности и риска. Здесь необходимо учитывать дисциплину обслуживания отказавших элементов, а именно: количество ремонтных органов и приоритет обслуживания, т.е. порядок, в котором ремонтируются отказавшие элементы.

Описание функционирования системы осуществляется с помощью построения графа состояний и составления системы линейных алгебраических и дифференциальных уравнений.

Граф состояний системы строится в следующем порядке:

Ø намечаются в виде горизонтальных линий уровни графа, которые нумеруются сверху вниз, считая верхний уровень нулевым;

Ø возможным состояниям системы ставятся в соответствие узлы графа, располагаемые на определенных уровнях в виде точек (или кружков, или квадратов). На нулевом уровне помещается узел, соответствующий состоянию, когда все элементы системы исправны (состояние (0)); на первом уровне помещаются узлы, соответствующие состояниям, когда отказал один любой элемент системы; на втором уровне помещаются узлы, соответствующие состояниям, когда отказали любые два элементы системы и т.д.; на последнем уровне располагаются узлы, соответствующие только отказовым состояниям системы;

Ø узлы графа соединяются ветвями, которые соответствуют переходам системы из состояния в состояние. Ветви размечаются интенсивностями отказов (восстановлений) элементов, из-за которых осуществляются переходы из состояния в состояние;

Ø узлы графа, соответствующие отказовым состояниям системы, помечаются, например, крестами.

Разработаем математическую модель функционирования системы, для чего получим, пользуясь графом состояний, выражения для показателей надежности и риска системы.

Пусть - множество всех состояний системы; - множество исправных; - множество отказовых состояний; - вероятность пребывания системы в момент времени в состоянии , ; - интенсивность перехода из состояния в состояние . Если переход из состояния в состояние отсутствует, то .

По графу состояний формально составляется система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, описывающая процесс функционирования нерезервированной и резервированной технической системы:

, . (1.13)

Предполагая, что в момент времени система полностью исправна, запишем начальные условия функционирования:

, , . (1.14)

Решение системы (1.13) с заданными начальными условиями позволяет найти вероятность безотказной работы технической системы за время при условии, что все состояния отказа являются поглощающими:

. (1.15)

Для определения среднего времени безотказной работы по графу состояний составляется система линейных алгебраических уравнений относительно средних времен пребывания технической системы в исправных состояниях :

. (1.16)

Тогда средняя наработка до отказа находится суммированием среднего времени пребывания системы в исправных состояниях:

. (1.17)

Суммарный риск системы за время находится по формуле:

, (1.18)

где - риск системы из-за отказа -го элемента.