Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Числовыми характеристиками сл.в. являются математическое ожидание M(X), дисперсия D(X), среднее квадратичное отклонение .

Опр. Математическим ожиданием дискретной сл.в. Х с законом распределения называется число

Х	х1	х2	х3	…	хn
Р	р1	р2	р3	…	рn

M(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn

Пример. Найти М(Х) числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.

Решение. Закон распределения имеет вид

Х
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Тогда М(Х)= 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=3,5

Свойства М(Х):

1. М(СХ)=С*М(Х).

2. М(Х+У)=М(Х)+М(У)

3. М(Х*У)=М(Х)*М(У)

Опр. Пусть Х – дискретная сл.в., возможные значения которой х1,х2,…,хn,

М(Х) – математическое ожидание, тогда сл.в. Х-М(Х) называется отклонением величины Х от ее математического ожидания, т.е. отклонение это сл.в., которая принимает значения: х1-М(Х), х2-М(Х),…, хn-М(Х).

Опр. Дисперсией сл.в. называется математическое ожидание квадрата

отклонения сл.в. от ее математического ожидания.

Дисперсия обозначается

Опр.. Средним квадратичным отклонением сл.в. Х называется корень

квадратный из дисперсии. .

На практике часто используют формулу .

Пример. Дискретная сл.в. имеет закон распределения

Х
Р	0,3	0,5	0,2

Найти D(X)? ?

Решение: М(Х)= 0*0,3+1*0,5+2*0,2=0,9

Запишем закон распределения отклонения этой величины, т.е. величины

	(0-0,9)	(1-0,9)	(2-0,9)
Р	0,3	0,5	0,2

D(X)=(0-0,9) *0,3+(1-0,9) *0,5+(2-0,9) *0,2=0,81*0,3+0,01*0,5+1,21*0,2=0,49.