Кинематика гармонических колебаний

Отличительной чертой колебательного движения является его периодичность, повторяемость. При этом движении существенно отличие пройденного пути, который постепенно растёт, от смещения x из какого-либо начала отсчёта. Это смещение при колебаниях тела периодически меняется.

На рис. 4.1 изображено колеблющееся тело, в случае, когда в начальный момент времени t = 0 его отклонение от положения равновесия было максимальным: тело было оттянуто на величину x _о = x _m от положения равновесия, в котором оно

находилось в состоянии покоя, и пружина была растянута только под действием силы тяжести тела, а затем отпущено одновременно с включением секундомера. Под действием силы упругости величина смещения начнет уменьшаться до x = 0 и затем по инерции возрастать в сторону отрицательных значений до x = – x _m (пружина сжимается) и т.д. Через x _m обозначено максимальное значение x, называемое амплитудой, поэтому x _m часто заменяют на букву A.

Для выражения зависимости смещения от времени в рассмотренном случае удобнее всего принять функцию косинуса, введя под его знак постоянную , которая должна иметь размерность с^-1, чтобы под знаком косинуса стояла безразмерная величина:

.

(4.1)

Для случая, когда в начальный момент времени маятник находится в положении равновесия x _о = 0, подошла бы функция синуса. В общем же виде пользуются соотношением, содержащим некоторый промежуточный параметр :

.

(4.2)

В этом случае при t = 0 тело может находиться где-то в промежуточной точке. Придавая разные значения , можно приспосабливать (4.2) к конкретным начальным условиям колебания. Очевидно, что максимальное значение смещения в (4.1) и (4.2) будет равно амплитуде A, поскольку максимальное значение упомянутых выше функций равно единице.

Выясним смысл параметра , воспользовавшись (4.1): очевидно, что смещение повторяется через определённые промежутки времени. Назовём периодом T время одного полного колебания. Через каждые T секунд тело возвращается в прежнее положение, то есть x принимает ранее имевшееся значение:

,

(4.3)

следовательно,

.

(4.4)

Поскольку значение косинуса повторяется при изменении угла на 2 p, то

w (t+T) – w t = 2 p и

.

(4.5)

Циклическая частота w, введённая в (4.1), оказывается связанной с периодом.

Выражения, стоящие под знаком тригонометрических функций, показывают, какую часть от амплитуды составляет смещение и носят название фазы колебаний. Естественно, фаза – величина безразмерная. Величина в (4.2) называется начальной фазой, она имеет тот же смысл, что и фаза колебания для момента времени t = 0.

Таким образом, описывая колебательное движение, мы можем пользоваться любой периодической функцией, введя в уравнение колебаний три постоянные величины (параметры): амплитуду, начальную фазу, циклическую частоту. Смещение из положения равновесия остается функцией только одной переменной – времени.

Скорость колеблющегося тела найдётся как первая производная от смещения, а ускорение – как вторая производная:

; .

(4.6)

Интересно, что ускорение будет отрицательным и в случае, если движение описывается уравнением (4.2). Смысл этого понятен: ускорение всегда направлено в сторону, противоположную смещению, то есть к положению равновесия тела. Безусловно, без выполнения этого положения не было бы колебаний.

Следует заметить, что колебательное движение не будет равноускоренным: ускорение есть функция времени. График зависимости a (t) будет синусоидой, так же как и график зависимости смещения от времени x (t) (рис. 4.2).

Очень полезно познакомиться и с геометрическим способом изображения колебательного движения – векторной диаграммой (рис. 4.3). Вектор, длина которого равна амплитуде и не меняется с течением времени, построен так, что составляет угол j с опорной осью. Опорная ось имеет произвольное направление и не обязательно горизонтальна. Угол равен фазе колебания, и смещение x из положения равновесия будет проекцией вектора на опорную ось.

С течением времени фаза растет, значит вектор будет вращаться вокруг своего начала с угловой скоростью w, а проекция при этом будет периодически меняться. Если фаза колебаний задана полностью, с начальной фазой , как в (4.2), диаграмму можно построить и для случая . Тогда угол между опорной осью и амплитудой будет равен . Изложенный выше геометрический способ представления колебаний иногда очень удобен, например при сложении одинаково направленных колебаний.