Кинематические уравнения движения материальной точки

Описывая любое движение, мы классифицируем его по виду траектории. Последняя задается нормальным ускорением. При равенстве его нулю траектория будет прямолинейной, в иных случаях нормальное ускорение задает радиус ее кривизны. При его постоянстве тело будет двигаться по окружности.

Тангенциальное ускорение при движении по любой траектории говорит о характере изменения величины скорости. Скорость может оставаться постоянной во всё время движения, увеличиваться либо уменьшаться. Более того, изменение скорости может быть равномерным – то есть за равные промежутки времени изменения скорости будут одинаковыми. По этим причинам принято различать такие типы движения: равномерное (при постоянной скорости), равнопеременное (при постоянном тангенциальном ускорении) и не равнопеременное (когда тангенциальное ускорение меняется). Для двух первых видов движения нетрудно найти уравнения, позволяющие рассчитать характеристики движения в любой момент времени.

Поскольку характеристик всего три: путь, скорость и ускорение, то уравнений будет не много. Вопрос о нахождении вида уравнений движения можно решить как графическим, более наглядным способом, так и аналитическим. Рассмотрим их последовательно сначала на примере простейшего вида движения – равномерного.

1. В случае равномерного движения графиком зависимости величины скорости от времени будет прямая линия, параллельная оси времени (рис. 2.8). Из этого графика нетрудно найти и пройденный за определенное время t путь. Действительно, из определения величины скорости следует, что

ds = u dt.

(2.17)

Значит, на графике величина ds найдётся как произведение ординаты u на элементарный промежуток времени dt.

Весь пройденный за конечное время t путь будет равен площади прямоугольника со сторонами u и t, то есть:

s = u t.

(2.18)

В рассматриваемом случае одна из трех кинематических характеристик равна нулю (тангенциальное ускорение), вторая постоянна (скорость), значит полученное выше уравнение будет единственным. Это уравнение можно получить аналитически, интегрируя уравнение (2.17) в соответствующих пределах:

,

(2.19)

что для случая постоянной скорости приведет к полученному выше результату. Это вполне естественно, так как площадь, ограниченная графиком любой функции и осью, на которой отложена независимая переменная (в нашем случае t) имеет геометрический образ интеграла этой функции.

2. Для случая равнопеременного движения следует рассмотреть два графика, соответствующих ускоренному (a _t > 0) и замедленному (a _t < 0) движениям. Первый из них представлен на рис. 2.9, где с течением времени скорость возрастает.

Поскольку ускорение a _tесть первая производная от скорости по времени, постоянство тангенциального ускорения означает, что за равные промежутки времени изменения скорости одинаковы.

Постоянным остается и угловой коэффициент

,

(2.20)

значит график будет прямой линией.

Замедленное движение обязательно имеет начальную скорость, которая с течением времени убывает (рис. 2.10). Угол наклона прямой к оси t теперь тупой, что соответствует отрицательному угловому коэффициенту.

Очевидно, что зависимость скорости от времени может быть получена интегрированием уравнения (2.10), определяющего тангенциальное ускорение. В рассматриваемом случае равнопеременного движения оно постоянно, поэтому в результате интегрирования получим:

d u = a t dt; Þ ; Þ u = u0 + a t t.

(2.21)

Теперь перейдем к выводу уравнения для нахождения второй, зависящей от времени, характеристики движения – пройденного пути s. для этого вновь воспользуемся уравнениями (2.17) и (2.19). Естественно, что теперь при интегрировании следует учесть полученную выше зависимость скорости равнопеременного движения от времени:

ds = u dt; Þ ; Þ s = u0 t + .

(2.22)

Если принять во внимание, что тангенциальное ускорение при замедленном движении отрицательно, и условиться далее под a _t понимать его модуль, то в уравнениях скорости и пути в этом случае появится знак минус.

Приведем все в систему и покажем, что арсенал уравнений и понятий, которыми располагает кинематика, не так обширен, как это может показаться на первый взгляд. Действительно, если оставить в стороне вопрос о траектории, и, следовательно, о направлении скорости, в кинематике остается только три характеристики движения: пройденный путь s, величина скорости u и тангенциальное ускорение a _t.

Если положить ускорение равным нулю, то есть скорость постоянной, то с течением времени будет меняться только путь:

s = u t.

(2.23)

При равнопеременном движении появляется второе уравнение, дающее возможность вычислить скорость в любой момент времени. Тогда уравнения зависимостей u (t) и s (t) можно записать в виде:

u = u0 ± at; .

(2.24)

Здесь под a следует понимать модуль полного ускорения прямолинейно движущейся точки, либо модуль тангенциального ускорения, если точка движется по криволинейной траектории.

Часто приходится решать и обратную задачу: нахождение скорости и ускорения по заданному закону движения s (t). Такая задача решается дифференцированием пути по времени. Скорость находится как первая производная от пути по времени, а ускорение – как вторая производная:

; .

(2.25)

Здесь точки над буквами означают операцию дифференцирования по времени (в отличие от производной по координате, которая, как известно, обозначается штрихом). Следовательно, – вторая производная от пути по времени.

Если точка движется по кривой известного радиуса R, то полное ускорение точки находится по (2.16): , где нормальное ускорение определяется по (2.14): a _n = u ²/ R.

И, наконец, последнее. Уравнения для равнопеременного движения имеют два частных случая: когда начальная либо конечная скорости равны нулю. Уравнения скорости в этих случаях будут одночленами:

u = a t t и u0 =– a t t.

(2.26)

Уравнение пути одинаково для обоих частных случаев, если тангенциальное ускорение взять по модулю:

.

(2.27)

Поскольку одночленными уравнениями легче пользоваться, не следует ими пренебрегать, решая конкретные задачи.