Прямая на плоскости

Общее уравнение прямой на плоскости:

.

Если , обозначим и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом:

.

Геометрический смысл параметров k и b: , где – угол, образованный прямой с осью Ox, – отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy (рис. 6).

Рис. 6.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k и проходящей через точку M ₁(x ₁; y ₁):

.

Уравнение прямой, проходящей через две точки M ₁(x ₁; y ₁) и M ₂(x ₂; y ₂):

;

угловой коэффициент этой прямой .

Если в общем уравнении прямой , то, полагая , получим уравнение прямой в отрезках:

,

здесь а и b – отрезки, отсекаемые прямой на осях Ox и Oy соответственно (рис. 7).

Рис. 7.

Если даны две прямые и , то угол между ними (острый) определяется по формуле

.

Условие параллельности этих прямых: .

Условие перпендикулярности прямых: .

Расстояние от точки M ₀(x ₀; y ₀) до прямой

вычисляется по формуле

Пример 1.7. Даны вершины треугольника А (0;1), B (6;5) и С (12;–1). Составить уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С (рис. 8).

Рис. 8.

Решение. Составим уравнение прямой АВ: или . Угловой коэффициент прямой АВ равен , следовательно, угловой коэффициент высоты , проведенной из вершины С, равен (так как прямые перпендикулярны). Уравнение высоты имеет вид:

или .