Интегрирование заменой переменной (метод постановки)

Если данный интеграл является табличным и не может быть найден способом непосредственного интегрирования, то во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести данный интеграл к табличному. В этом сущность так называемого метода подстановки.

Часто интеграл можно упростить путем введения новой переменной t. Положим, что x=φ(t), где φ(t) – есть монотонная и непрерывно дифференцируемая функция на некотором промежутке. Если на указанном промежутке изменения переменной x функция f(x) интегрируема, то имеет место следующая формула:

(1)

После того, как интеграл найден с помощью подстановки x=φ(t), следует возвратиться к первоначально заданной переменной x.

Иногда вместо подстановки x=φ(t) применяют подстановку t=φ(x), то есть рассматривают новую переменную t как функцию от x.

1) =

2)

3)

4)

5)

6)