Функций в сумму

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Преобразуем произведение в сумму, получим

;

Преобразуем в сумму произведение :

,

Используем формулу приведения и представим последнее уравнение в виде

Преобразуем полученную сумму синусов в произведение:

.

Получаем уравнение

которое решаем по формуле (21):

.

Получаем ответ

IV. Уравнения, решаемые с помощью замены переменной

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение является квадратным относительно Заменяем получим уравнение Его корни и Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению совокупности простейших уравнений:

Уравнение корней не имеет, т.е.

Решением второго является

.

Получаем ответ:

Пример 9. Решить уравнение

Решение. Используем тождество и формулу . Уравнение сводится к виду:

Мы получили квадратное уравнение относительно Заменяем получим уравнение откуда

Приходим к совокупности простейших уравнений:

Получаем ответ:

Пример 10. Найти сумму корней уравнения

если

Решение. ОДЗ: поскольку ,

Упростим исходное уравнение:

Получили квадратное уравнение относительно Сделав замену где имеем уравнение откуда или

Вернувшись к прежней неизвестной, получим совокупность уравнений

Первое уравнение не имеет решения. Решаем второе:

;

.

Придаем значение ; получаем

;

при имеем .

Нетрудно убедиться, что при всех других значениях n корни не попадут на отрезок Значит сумма корней, принадлежащих отрезку равна

Ответ:

V. Однородные уравнения

Однородным тригонометрическим уравнениями n-й степени относительно и , называется уравнение вида

(26)

где – действительные числа,

В уравнении (26) так как при исходное уравнение примет вид: откуда что невозможно, поскольку и не могут одновременно равняться нулю.

Разделив исходное уравнение на получим:

С помощью замены имеем алгебраическое уравнение

,

которое решаем и возвращаемся к старой переменной.

Пример 11. Решить уравнение

Решение. Разделив уравнение на получим откуда и

Ответ:

Пример 12. Решить уравнение

Решение. Используя формулу приведем данное уравнение к однородному:

Разделим почленно на

откуда

Введем замену и получим уравнение корнями которого будут

После чего перейдем к решению совокупности простейших уравнений:

Получили ответ:

VI. Неоднородные уравнения 2-й степени

Неоднородным тригонометрическим уравнением 2-й степени называется уравнение вида

(27)

Используя основное тригонометрическое тождество приводим уравнение к однородному

,

которое решаем далее как уравнение типа (26).

Пример 13. Решить уравнение

Решение. Используя формулы и

преобразуем данное уравнение к однородному:

Разделим на

Введем замену

откуда

Решим совокупность уравнений:

Получили ответ: