I. Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение

(18)

Если то уравнение (18) решений не имеет, так как

Если то уравнение имеет решение, которое находится по формуле:

(19)

Частные случаи уравнения (18):

уравнение решение ;

уравнение решение ;

уравнение решение

Уравнение

(20)

Если то уравнение решений не имеет, так как

Если то уравнение (20) имеет решение, которое находится по формуле:

(21)

Частные случаи уравнения (20):

уравнение решение ;

уравнение решение ;

уравнение решение

Уравнение

. (22)

Решение уравнения (22) находят по формуле:

(23)

Уравнение

(24)

Решение уравнения (24) находят по формуле:

(25)

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

и воспользуемся формулой (19):

.

Используем нечетность функции :

, ,

Из последнего равенства находим:

что приводит к ответу

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Воспользуемся частным случаем решения уравнения типа (20):

приходим к ответу

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Найдем решение по формуле (25):

.

Получаем ответ:

II. Уравнения, решаемые разложением на множители

Пример 4. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: , .

Преобразуем уравнение следующим образом:

откуда

или

Решаем совокупность:

Однако решение не удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения. Поэтому получаем ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Используя формулу запишем уравнение в виде:

откуда

Решаем совокупность:

Получаем ответ:

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Используем формулу приведения и запишем уравнение в виде:

Преобразуем по формуле суммы косинусов:

откуда получаем совокупность:

Приходим к ответу:

III. Уравнения, решаемые с помощью формул