Силовой анализ плоского рычажного механизма

Задача 3. Составить расчетную модель механизма для проведения силового анализа. Исходные данные взять из задания задачи 1.

Расчётная модель механизма для проведения силового анализа представляет собой кинематическую схему с приложенными на ней силовыми факторами. На модели указываются следующие виды сил: - силы тяжести звеньев; - силы инерции; - моменты пар сил инерции; - сила полезного сопротивления и - уравновешивающая сила.

Сила тяжести звена определяется по формуле:

, (1)

где - масса i -го звена, кг; - ускорение свободного падения (для решения учебных задач можно принять ).

Масса звеньев рычажного механизма определяется по следующей зависимости: , где - удельная масса звена (выбирается
в зависимости от вида звена, кг/м), - длина звена, м.

Найдем массы звеньев плоского рычажного механизма (рис. 2.1):

– масса кривошипа ;

– масса контура ;

– масса коромысла ;

– масса шатуна ;

– масса ползуна .

Зная массы звеньев, определим по формуле (1) силы тяжести каждого звена:

; ;

; ;

.

Указываем на кинематической схеме механизма (рис. 2.9) силы тяжести звеньев, учитывая, что вектор данной силы прикладывается в точке центра масс звена (), а линия его действия направлена вертикально вниз.

Сила инерции звена определяется по формуле:

где - ускорение центра масс звена (определяется на плане ускорений
(рис. 2.7 в)).

Определим значения сил инерции каждого звена механизма:

– сила инерции кривошипа ;

– сила инерции контура ;

– сила инерции коромысла ;

– сила инерции шатуна ;

– сила инерции ползуна .

Принимая во внимание условие , получаем, что направление вектора силы инерции противоположно вектору ускорения центра масс звена, к которому приложена данная сила. По этому, чтобы направить силу инерции на расчётной модели механизма, необходимо взять вектор ускорения центра масс i -го звена на плане ускорения (рисунок 2.7 в), перенести его
на кинематическую схему в соответствующую точку и перенаправить вектор .

Далее определим моменты пар сил инерции по следующей
зависимости:

(2)

где – момент инерции i -го звена относительно оси проходящей через
его центр масс, ; – угловое ускорение i -го звена, с^-2.

Знак «-» в формуле означает, что направление действия момента пары сил инерции i -го звена противоположно направлению действия углового ускорения этого же звена.

Найдем значения каждого звена, используя зависимость (2):

;

;

.

Момент инерции ползуна равен нулю , так как звено совершат только возвратно-поступательное движение.

Вектор силы полезного сопротивления приложен к выходному звену механизма (ползуну 5), и направлен в противоположную сторону вектору ускорения центра масс данного звена, т.е. (рис. 2.9).

Вектор уравновешивающей силы прикладывается к подвижной точке ведущего звена (точка А), и на первоначальном этапе, направляется перпендикулярно оси кривошипа в противоположную сторону вращения (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Расчетная модель для проведения силового анализа.

Задание 3. Для плоского рычажного механизма построить расчётную модель для проведения силового анализа. Исходные данные взять
с выполненного задания 2.

Задача 4. Для расчётной модели механизма (см. задачу 3) выполнить кинетостатический анализ.

Кинетостатический метод проведения силового анализа основан
на принципе Даламбера и позволяет решать две задачи:

- нахождение силового управляющего воздействия ( и );

- определение значений и направлений действия реакций кинематических пар ().

Разобьём схему механизма на группы звеньев (см. задачу 1).

Вычертим отдельно структурную группу 4-5 в соответствующем масштабном коэффициенте длин (рис. 2.10 а). С расчётной модели (рис. 2.9), используя метод параллельного переноса, вынесем на исследуемую структурную группу силовые факторы, действующие на её звенья. Отброшенные связи (ползуна со стойкой и шатуна с контуром) заменим реакциями. В поступательной паре 5-0 действует реакция , линия действия которой направлена перпендикулярно направляющей движения ползуна (рис. 2.10 а). В кинематической паре 2-4, отброшенные связи заменяют реакцией, которая раскладывается на две составляющие и (рис. 2.10 а). Линия действия вектора нормальной составляющей лежит параллельно оси шатуна СD, а тангенциальной составляющей - перпендикулярно оси шатуна.

Далее составим уравнения равновесия в векторной форме .
Для структурной группы 4 и 5 получим:

(3)

Представленное уравнение является статически неопределимым,
так как количество неизвестных (, , ) в уравнении превышает количество уравнений. Данное уравнение является дважды статически неопределимым. Для раскрытия статической неопределимости составим уравнение моментов относительно точки D ().

Из данного выражения выразим тангенциальную составляющую реакции:

Положительное значение реакции означает, что произвольно выбранное направление действия определено верно.

Таким образом, уравнение (3) стало один раз статически неопределимым. Чтобы раскрыть статическую неопределимость построим векторный многоугольник сил (план сил), который должен быть замкнутым, так как система плоских сил уравновешена.

Для построения плана сил выбираем масштабный коэффициент сил по формуле:

где – это самая максимальная по модулю, из известных
в рассматриваемой системе, сила, Н; – произвольно выбранный отрезок, изображающий вектор максимальной силы, мм.

В исследуемой группе звеньев 4-5 максимальной силой является сила инерции шатуна , следовательно, для данной группы звеньев масштабный коэффициент сил будет равен:

.

Далее переведем все известные силовые факторы, приложенные
к группе звеньев 4-5 в соответствующий масштабный коэффициент:

;

; ;

.

Зная величины отрезков, характеризующих вектора сил на плане сил,
по уравнению равновесия (3) построим векторный многоугольник сил
(рис. 2.10 б).

Для этого, проводим линию действия вектора нормальной составляющей реакции . Далее, из произвольно выбранной точки
на данной линии откладываем вектор тангенциальной составляющей .
Из вершины вектора откладываем последовательно вектора , , , , . Из вершины вектора силы полезного сопротивления () проводим линию действия реакции . Точка пересечения линий действия векторов и замкнёт многоугольник сил и определит действительные направления данных векторов, а так же их модуль.

Рис. 2.10.

Чтобы определить величины неизвестных сил, замерим модуль
их векторов на плане сил (рис. 2.10 б) и умножим на масштабный коэффициент сил, получим:

Применив правила векторного сложения, зная и ,найдем и определим её величину:

Рассмотрим структурную группу 2-3. Вычертим её отдельно
в соответствующем масштабном коэффициенте длин и с расчётной модели (рис. 2.9), методом параллельного переноса, вынесем на неё силовые факторы, действующие на звенья исследуемой группы. Отброшенные связи (контура с кривошипом и коромысла со стойкой) заменим реакциями
и (рис. 2.11 а). Данные реакции возникают во вращательных парах, поэтому раскладываем их на две составляющие , и , . Линия действия лежит параллельно оси стороны контура АВ, а линия действия лежит параллельно оси коромысла. Тангенциальные составляющие
и направлены перпендикулярно осям соответствующих звеньев.

Составляем уравнение равновесия в векторной форме
для структурной группы 2-3:

(4)

Данное уравнение является трижды статически неопределимым, так как включает в себя четыре неизвестных (, , , ).

В первую очередь, определяем тангенциальные реакции, составляя уравнения равновесия .

Для определения реакции рассмотрим силы, действующие
на контур, и составим следующее уравнение:

Из данного выражения выразим тангенциальную реакцию:

получаем, что .

Для определения реакции рассмотрим силы, действующие
на коромысло:

Из данного выражения выразим тангенциальную реакцию:

Для построения плана сил группы 2-3 выбираем масштабный коэффициент сил , по максимальной из действующих сил на звенья исследуемой группы:

.

Переведем все известные силовые факторы, приложенные к группе звеньев 2-3, в соответствующий масштабный коэффициент:

Зная величины отрезков, характеризующих вектора сил, по уравнению равновесия (4) построим векторный многоугольник (рис. 2.11 б).

Чтобы его построить, вначале проводим линию действия вектора нормальной составляющей реакции . Далее, из произвольно выбранной точки на данной линии откладываем вектор тангенциальной составляющей . Из вершины вектора откладываем последовательно вектора , , , , , . Из вершины вектора тангенциальной составляющей () проводим линию действия реакции . Точка пересечения линий действия векторов и замкнёт многоугольник сил и определит действительные направления данных векторов, а так же их модуль.

Чтобы определить величины неизвестных сил, замерим модуль
их векторов на плане сил (рис. 3.3 б) и умножим на масштабный коэффициент сил, получим:

Рис. 2.11

Применив правила векторного сложения, найдем и (рис. 2.11 б), а так же определим их величину:

Определив направление и величину неизвестных реакций и ,
мы сняли всю неопределённость с уравнения равновесия (4).

Рассмотрим первичный механизм 0-1. На основании третьего закона Ньютона переносим реакцию второго звена на первое . Данные реакции равны друг другу по модулю, но противоположно направлены (, ). Действие стойки на кривошип заменим реакцией , которую разложим на две составляющие и (рис. 2.12 а). Затем
к точке A прикладываем уравновешивающую силу перпендикулярно оси кривошипа, для того, чтобы система была в равновесии. Составим уравнение равновесия в векторной форме:

(5)

Данное уравнение дважды неопределимо, так как включает в себя три неизвестных (, , ). Для раскрытия неопределимости запишем уравнение равновесия :

Выразим из уравнения неизвестную тангенциальную реакцию , получим:

Рис. 2.12

Таким образом, уравнение стало один раз статически неопределимым. Чтобы раскрыть статическую неопределимость полностью, построим план сил для первичного механизма (рис. 2.12. б), который должен быть замкнутым, так как система плоских сил уравновешена. Для этого выберем масштабный коэффициент плана сил:

Переведем известные силовые факторы, приложенные к кривошипу
в масштабный коэффициент сил:

.

Зная величины отрезков, характеризующих вектора сил, по уравнению равновесия (5) построим план сил (рис. 2.12 б) в следующей последовательности: строим линию действия вектора уравновешивающей силы (перпендикулярно оси кривошипа); из произвольной точки на данной линии строим реакцию ; из вершины вектора этой реакции откладываем последовательно вектора и ; из вершины вектора тангенциальной реакции строим линию действия нормальной составляющей . Точка пересечения линий действия векторов и замкнёт многоугольник сил и определит действительные направления и модули данных неизвестных векторов.

Воспользовавшись масштабным коэффициентом сил для первичного механизма, найдём значения неизвестных сил:

Н

Уравновешивающий момент определится по формуле:

.

Задание 4. Для плоского рычажного механизма необходимо выполнить кинетостатический анализ. Исходные данные взять с выполненного задания 3.

Задача 5. Для построенной расчётной модели (см. задачу 3) плоского рычажного механизма необходимо определить уравновешивающую силу используя теорему Жуковского.

С помощью теоремы Жуковского можно решить только одну задачу силового анализа - определить величину и направление управляющего силового воздействия (). Теорема основана на следующем принципе: если механизм, под действием силовых факторов, находится в равновесии, то в равновесии находится и повернутый на 90° план скоростей, рассматриваемый как жесткий рычаг, вращающийся вокруг полюса плана и нагруженный той же системой силовых факторов, приложенных к одноименным точкам плана.

Для расчётной модели механизма (рис. 3.5) построим план скоростей в масштабном коэффициенте равном:

.

Повернем его на 90 градусов в направлении вращения кривошипа. Полученный план скоростей называется повернутый план, поскольку вектора в его составе лежат на перпендикулярах к линиям действия действительных векторов данных параметров.

Перенесем с расчётной модели на повернутый план скоростей все действующие силовые факторы на звенья, разложив моменты пар сил инерции на пару сил, эквивалентную их действию (рис. 2.12). Величины пар сил определятся по следующим зависимостям:

;

.

Составим уравнение равновесия относительно полюса плана скоростей для плоской системы сил :

Плечи от сил на рис. 2.13 показаны не все, вследствие загруженности рисунка.

Рис. 2.13

Из данного уравнения выразим уравновешивающую силу:

Замерив плечи с рычага Жуковского и подставив в соответствующее выражение для , получим:

Зная величину , найдем момент уравновешивающий:

Нм.

Задание 5. Построить рычаг Жуковского и определить управляющее силовое воздействие для расчётной модели (см. задание 3) плоского рычажного механизма.