Кинематический анализ плоского рычажного механизма

Задача 2. Для заданного положения плоского рычажного механизма (рис. 2.6) необходимо построить план скоростей и ускорений, а так же найти значения линейных и угловых скоростей и ускорений.

Дано: , , , , , , , , , , , , ,

Рис. 2.6. Схема плоского рычажного механизма

1. Перед выполнением кинематического анализа осуществляют метрический синтез механизма с помощью графоаналитического метода.
Для этого задаются масштабным коэффициентом длин:

,

где – произвольно выбранный отрезок, изображающий на плане положения длину кривошипа.

Далее переводят все геометрические линейные размеры в масштабный коэффициент длин и получают величины отрезков, изображающие заданные геометрические параметры в составе соответствующей кинематической схемы:

;

;

;

Используя полученные величины отрезков геометрических параметров механизма, методом засечек, строят его кинематическую схему
(см. рис. 2.7 а) для заданного значения угла положения ведущего звена.

2. Для построенного положения механизма строят план скоростей, который представляет собой пучок векторов, выполненный в определенном масштабном коэффициенте скоростей , лучи которых изображают вектора линейных скоростей характерных точек механизма, а отрезки, соединяющие вершины этих векторов, соответствуют векторам относительных скоростей звеньев.

Так как угловая скорость ведущего звена постоянна (),
то по заданной частоте вращения кривошипа определяем её величину:

Зная величину определяем модуль скорости точки А:

м/с

Запишем векторные уравнения распределения скоростей, последовательно решая которые построим план скоростей.

Вектор скорости точки А представляет собой геометрическую сумму векторов скорости точки О и скорости относительного вращательного движения точки А вокруг точки О:

. (1)

Точка О в схеме механизма является неподвижной, следовательно, модуль её скорости равен нулю (). Вектор скорости направлен перпендикулярно оси кривошипа, а линия действия совпадает с направлением вращения ведущего звена.

Точка В принадлежит двум звеньям, контуру 2 и коромыслу 3. По этому для неё запишем два векторных уравнения.

Вектор скорости точки В, принадлежащей контуру 2, представляет собой геометрическую сумму векторов скорости точки А и скорости относительного вращательного движения точки В вокруг точки А:

(2)

Для коромысла, вектор скорости точки В представляет собой геометрическую сумму векторов скорости точки и скорости относительного вращательного движения точки В вокруг точки :

(3)

Анализируя схему механизма видно, что точка в схеме механизма является неподвижной, следовательно, как и для точки О, модуль её скорости будет равен нулю (). Направление действия векторов и будет перпендикулярно осям соответствующих звеньев.

Совместное графическое решение векторных уравнений (2) и (3) позволит определить модуль и направление действия вектора скорости точки В.

Точка С принадлежит двум сторонам контура 2 (АС и ВС). По этому для неё так же запишем два векторных уравнения.

Вектор скорости точки С, принадлежащей стороне контура АС, представляет собой геометрическую сумму векторов скорости точки А
и скорости относительного вращательного движения точки С вокруг точки А:

(4)

Вектор скорости точки С, принадлежащей стороне контура ВС, представляет собой геометрическую сумму векторов скорости точки В
и скорости относительного вращательного движения точки С вокруг точки В:

(5)

Совместное графическое решение векторных уравнений (4) и (5) позволит определить модуль и направление действия вектора скорости точки С.

Точка D принадлежит двум звеньям, шатуну 4 и ползуну 5. По этому,
для неё запишем два векторных уравнения.

Вектор скорости точки D, принадлежащей шатуну 4, представляет собой геометрическую сумму векторов скорости точки C и скорости относительного вращательного движения точки D вокруг точки C:

(6)

Ползун 5 совершает только прямолинейное возвратно-поступательное движение вдоль своей направляющей (линии DX), следовательно, линия действия вектора скорости точки D проходит параллельно данной направляющей:

(7)

Совместное графическое решение векторных уравнений (6) и (7) позволит определить модуль и направление действия вектора скорости точки D.

Определим масштабный коэффициент скоростей:

где – произвольно выбранный отрезок, изображающий на плане скоростей вектор скорости точки А.

Построим план скоростей (см. рис. 2.7 б), графически разрешив векторные уравнения (1 – 7).

Для определения векторов скоростей точек центра масс звеньев, воспользуемся теоремой подобия для планов скоростей.

Скорость точки S ₁ равна нулю (), так как она не подвижна
и совпадает с точкой О.

Точка S ₂ лежит на пересечении медиан трёхстороннего контура 2
(рис. 2.7). На основании теоремы подобия, точка s ₂ на плане скоростей лежит так же на пересечении медиан соответствующего контура (см. рис. 2.7 б). Проводим вектор, соединяющий полюс плана скоростей (точка р)
с найденной точкой s ₂. Данный вектор характеризует направление и величину абсолютной скорости точки s ₂ в масштабном коэффициенте.

Положение точки центра масс коромысла (S ₃) на плане скоростей найдем из подобия отрезков, характеризующих модули вектор скоростей звеньев,
к длинам этих же звеньев:

мм

Вектор, проведенный из полюса плана к найденной точке (s ₃) изображает абсолютную скорость точки S ₃ в масштабном коэффициенте.

Положение точки центра масс шатуна (S ₄) на плане скоростей найдем
так же с помощью теоремы подобия:

мм

Вектор, проведенный из полюса плана к найденной точке (s ₄) изображает абсолютную скорость точки s ₄ в масштабном коэффициенте скоростей.

Центр масс ползуна (S ₅) совпадает с точкой D принадлежащей ползуну (рис. 2.6). По этому, вектора и на плане скоростей совпадают,
а модули скоростей данных точек равны друг другу.

Рис. 2.7

Далее замерив отрезки, изображающие вектора линейных
и относительных скоростей и умножив их на соответствующий масштабный коэффициент, получим значение модулей данных скоростей:

м/с; м/с;

м/с; м/с;

м/с; м/с;

м/с; м/с;

м/с.

Определив значения относительных скоростей звеньев, находим величины их угловых скоростей:

– угловая скорость контура определяется

по стороне АВ

– угловая скорость коромысла ;

– угловая скорость шатуна .

Угловая скорость ползуна 5 равна нулю (), так как он совершает только поступательное движение.

3. Перед построением плана ускорений для заданного положения плоского рычажного механизма (рис. 2.7 а), определим модули нормальных ускорений звеньев совершающих вращательное движение:

м/с²; м/с²;

м/с²; м/с²

м/с²; м/с²

Так как угловая скорость кривошипа постоянна, то его угловое ускорение будет равно нулю, т.е. . Соответственно тангенциальное ускорение кривошипа так же будет равно нулю .

Для изображения векторов ускорений необходимо выбрать масштабный коэффициент плана ускорений:

м/(с²·мм),

где – произвольно выбранный отрезок, изображающий на плане ускорений модуль вектора нормального ускорения кривошипа.

Переведем величины найденных нормальных ускорений звеньев
в отрезки, изображающие их на плане ускорений:

; ; ; ;

Составим векторные уравнения распределения векторов ускорений, решая графически которые построим план ускорений.

Вектор ускорения точки А представляет собой геометрическую сумму вектора ускорения точки О, вектора нормального ускорения кривошипа
и вектора тангенциального ускорения относительного вращательного движения точки А вокруг точки О:

(8)

Ускорение точки О равно нулю (), так как точка является неподвижной. Так же и тангенциальное ускорение кривошипа равно нулю (см. выше). Тогда уравнение (8) примет вид:

(9)

Вектор нормального ускорения ведущего звена направлен параллельно оси кривошипа, к центру его вращения (от точки А к точке О на плане положения).

Вектор ускорения точки В, принадлежащей контуру 2, представляет собой геометрическую сумму вектора ускорения точки А, вектора нормального ускорения и вектора тангенциального ускорения относительного вращательного движения точки В вокруг точки А:

(10)

Вектор нормального ускорения звена ВА направлен параллельно его оси, а линия действия вектора направлена от точки В к точке А на плане положения. Вектор тангенциального ускорения звена ВА направлен перпендикулярно его оси.

Вектор ускорения точки В, принадлежащей коромыслу 3, представляет собой геометрическую сумму вектора ускорения точки , вектора нормального ускорения и вектора тангенциального ускорения относительного вращательного движения точки В вокруг точки :

(11)

Вектор нормального ускорения звена направлен параллельно
его оси, а линия действия вектора направлена от точки В к точке на плане положения механизма (рис. 2.7 а). Вектор тангенциального ускорения коромысла направлен перпендикулярно его оси.

Вектор ускорения точки С, принадлежащей стороне контура АС, представляет собой геометрическую сумму вектора ускорения точки А, вектора нормального ускорения и вектора тангенциального ускорения относительного вращательного движения точки С вокруг точки А:

(12)

Вектор направлен параллельно оси звена СА, а линия действия вектора направлена от точки С к точке А на плане положения. Вектор тангенциального ускорения направлен перпендикулярно к оси соответствующего звена.

Вектор ускорения точки С, принадлежащей стороне контура ВС, представляет собой геометрическую сумму вектора ускорения точки В, вектора нормального ускорения и вектора тангенциального ускорения относительного вращательного движения точки С вокруг точки В:

(13)

Вектор направлен параллельно оси звена СВ, а линия действия вектора направлена от точки С к точке В на плане положения. Вектор тангенциального ускорения направлен перпендикулярно оси соответствующего звена.

Вектор ускорения точки D, принадлежащей шатуну 4, представляет собой геометрическую сумму вектора ускорения точки С, вектора нормального ускорения и вектора тангенциального ускорения относительного вращательного движения точки D вокруг точки C:

(14)

Линия действия вектора ускорения точки D принадлежащей ползуну будет параллельна направляющей, по которой он движется:

(15)

Графически разрешив векторные уравнения (8) ÷ (15) построим план ускорений (см. рис. 2.7 в).

Для определения векторов ускорений точек центра масс звеньев, воспользуемся теоремой подобия для планов ускорений.

Ускорение точки S ₁ равно нулю (), так как точка не подвижна.

На основании теоремы подобия, точка центра масс контура s ₂ на плане ускорений лежит так же на пересечении медиан соответствующего контура (рисунок 2.7 в). Соединяем полюс плана скоростей (точка р) с найденной точкой s ₂ вектором, который будет характеризовать направление и величину абсолютного ускорения точки S ₂ в масштабном коэффициенте.

Положение точки центра масс коромысла (S ₃) на плане ускорений определится из подобия отрезков, характеризующих модули вектор ускорений звеньев, к длинам этих же звеньев:

.

Вектор, проведенный из полюса плана к найденной точке (s ₃) изображает абсолютное ускорение данной точки в масштабном коэффициенте.

Положение точки центра масс шатуна (S ₄) на плане ускорений найдем так же с помощью теоремы подобия:

.

Вектор, проведенный из полюса плана к найденной точке (s ₄) изображает абсолютное ускорение центра масс шатуна в масштабном коэффициенте ускорений.

Вектор ускорения центра масс ползуна совпадает с вектором ускорения точки D принадлежащей ползуну (рис. 2.7 в). По этому и модули данных ускорений равны друг другу, т. е. .

Замерив отрезки, изображающие вектора линейных и относительных ускорений и умножив их на соответствующий масштабный коэффициент, получим значение модулей данных ускорений:

; ;

; ;

;

;

.

Зная величины относительных ускорений звеньев, определяем значения их угловых ускорений:

– угловое ускорение контура определяется по тангенциальному ускорению стороны АВ

– угловое ускорение коромысла ;

– угловое ускорение шатуна .

Угловое ускорение ползуна 5 равно нулю (), так как он совершает только поступательное движение.

Задание 2. Считая угловую скорость кривошипа постоянной величиной, необходимо:

1. построить кинематическую схему механизма для заданного угла положения кривошипа ;

2. для заданного положения механизма построить план скоростей
и ускорений;

3. определить величины линейных, относительных и угловых скоростей
и ускорений звеньев механизма.

Схемы механизма и исходные данные указаны ниже