Применение системы Simulink в задачах моделирования динамических систем

Рассмотрим несколько примеров моделирования систем, описываемых дифференциальными и разностными уравнениями.

Пример 5.1. Моделирование непрерывного объекта 1-го порядка. Пусть исследуемая система описывается уравнением:

.

В качестве входа будем использовать единичный скачок. На рис. 5.23 приведена структурная схема и результаты моделирования:

Рис. 5.23 - Структурная схема и решение

Пример 5.2. Моделирование непрерывного объекта 2-го порядка. Рассмотрим динамический объект 2-го порядка

Структурная схема решения задачи приведена на рис. 5.24. Результаты моделирования для интервала времени от 0 до 20 с. приведены на рис.5.25, 5.26 (переходные процессы - рис. 5.25, фазовый портрет - рис. 5.26).

Рис. 5.24 - Структурная схема

Рис. 5.25 - Переходные процессы

Рис. 5.26 - Фазовый портрет

Пример 5.3. Моделирование непрерывного нелинейного объекта 2-го порядка. Рассмотрим нелинейный объект 2-го порядка следующего вида

В уравнениях - нелинейность типа "мертвая зона" с диапазоном мертвой зоны от –0.5 до 0.5. Ниже на рис. 5.27, 5.28 приведена структурная схема и фазовый портрет (для интервала времени от 0 до 150 с.).

Рис. 5.27 - Структурная схема

Рис. 5.28 - Фазовый портрет

Пример 5.4. Моделирование непрерывного нестационарного объекта 1-го порядка. Пусть нестационарный динамический объект описывается уравнением

Требуется найти решение на интервале времени от 1 до 4 с.

На рис. 5.29, 5.30 приведены структурная схема и решение.

Рис. 5.29 - Структурная схема

Рис. 5.30 - Реализация решения задачи

Пример 5.5. Моделирование системы управления смесительной колонны с помощью блока State-Space. Модель смесительной колоны с двумя входными потоками имеет вид:

где - отклонение уровня жидкости в колонне от номинального уровня, - отклонение выходной концентрации потока от номинального значения, - расход первого входного потока, - расход второго входного потока. Каждый входной поток имеет заданное постоянное значение концентрации жидкости.

Модель измерительной системы следующая:

,

,

где и - независимые случайные нормальные процессы с нулевым средним и единичной дисперсией.

Управление осуществляется за счет изменения входных потоков ( и ). Цель управления: изменение выходной концентрации жидкости на величину . Система управления смесительной колонной синтезировалась по методу локально-оптимального слежения [16] и имеет следующий вид:

Так как при моделировании используется State-Space, то зададим матрицы блока в виде:

,

Будем использовать также блок Random Number и блок Matrix Gain с матрицей передачи

Структурная схема решения задачи представлена на рис. 5.31. На рис. 5.32 приведены переходные процессы в замкнутой системе и реализации управлений.

Рис. 5.31- Структурная схема смесительной колонны

Рис.5.32 - Переходные процессы и управления

Пример 5.6. Моделирование динамики стратегии Курно.

Известно [15], что динамика Курно, обеспечивающая максимальную прибыль фирмы, при взаимодействии двух фирм на рынке описывается следующими разностными уравнениями:

,

,

где - количество товаров произведенных i -ой фирмой в момент времени t; - параметр, определяющий характеристику i -ой фирмы (зависит от модели ценообразования и себестоимости).

При моделировании предполагалось, что . Начальные условия для разностных уравнений следующие:

.

Время в модели изменяется дискретно и принимает значения 0, 1, 2,…,20. Один такт в модели соответствует длительности цикла производства товаров. Предполагается, что в обоих фирмах длительность цикла производства одинакова. На рис. 5.33 приведена структурная схема моделирования стратегии Курно.

Рис.5.33 - Структурная схема

На рис. 5.34 дан фазовый портрет динамики Курно. На рис. 5.35 приведены реализации изменения количества товаров, выпускаемых каждой фирмой. Из последних графиков видно, что выпуск товаров устанавливается на постоянном уровне.

Рис. 5.34 - Фазовый портрет

Рис. 5.35 - Реализации переменных и

Пример 5.7. Моделирование системы управления запасами. Задача управления запасами рассматривается для модели однопродуктового склада следующего вида:

,

где - количество товаров на складе в момент времени t, - объем поставок в момент времени t, - текущий спрос, - начальное количество товаров на складе. При моделировании использовалась следующая модель спроса:

,

где - нормальный случайный процесс с нулевым средним и дисперсией равной 5, параметры R и r равны следующим значениям:

.

Управление, обеспечивающее максимальный желаемый уровень количества товаров на складе z =180, строится по методу локально-оптимального слежения [16] на основе оптимизации критерия:

,

где C и D - весовые коэффициенты (принимались равными 1 и 0 соответственно). Оптимальный объем поставок определяется по формуле:

.

Реальные поставки определялись с учетом грузоподъемности транспортного средства 200, а также для уменьшения транспортных затрат предполагалось, что поставки осуществлялись только при выполнении неравенства:

,

где предельное значение принималась равным 180. С учетом последнего замечания поставки осуществлялись по следующему правилу:

На рис. 5.36 приведена структурная схема системы управления запасами. На рис. 5.37 приведена реализация спроса. На рис. 5.38 приведены реализации количества товаров на складе и поставок.

Рис. 5.36 - Структурная схема системы управления запасами

Рис. 5.37 - Реализация спроса

Рис 5.38 - Реализация запасов и поставок

ЛИТЕРАТУРА

1. Дьяконов В.П. MATLAB 5.3.1 с пакетами расширений. М.: «Нолидж», 2001.

2. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов Матлаб 5.x. Т.1. М.: Диалог - МИФИ, 1999.

3. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов Матлаб 5.x. Т.2. М.: Диалог - МИФИ, 1999.

4. Решетникова Г.Н. и др. Введение в систему MATLAB 5.0. Ч.1. Томск: ТГУ, 1999.

5. Решетникова Г.Н. и др. Введение в систему MATLAB 5.0. Ч.2. Томск: ТГУ, 1999.

6. Черкашин М.В. Система для математических расчетов MATLAB. Томск: Межвузовский центр дистанционного образования, 2002.

7. Черных И.В. Simulink. Среда создания инженерных приложений. М.: Диалог-МИФИ, 2003.

8. Гультяев А.К. Matlab 5.2. Имитационное моделирование в среде Windows: Практическое пособие. М.: Диалог - МИФИ, 1999.

9. Гультяев А.К. Визуальное моделирование в среде Matlab: учебный курс. СПб.: Питер, 2001.

10. Цисарь И.Ф., Крысин М.А. Matlab-Simulink. Лаборатория экономиста. М.: Анкил, 2001.

11. Документация к пакету Matlab фирмы MathWorks (pdf-files). 1998.

12. www.exponenta.ru - образовательный сайт по математическим методам и программированию с использованием пакетов прикладных программ.

13. www.matlab.ru - консультационный сайт пакета Matlab.

14. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. М.: Наука, 1980.

15. Терпугов А.Ф. Экономико-математические модели. Томск: Изд-во ТГПУ, 1999.

16. Смагин В.И. Локально-оптимальное управление запасами. Учебно-методическое пособие. Томск: Изд-во ТГУ, 2001.