Удельная энергия сечения

Проведём в данном случае плоскость сравнения не произвольно, а через нижнюю точку рассматриваемого сечения, рис.4.2., в котором глубина равна h. Удельную энергию потока определяют по формуле

.

Для данного сечения при плавноизменяющемся движении в открытом русле

.

Если привести плоскость сравнения через наиболее низкую точку сечения, то

Тогда полная механическая энергия в данном сечении относительно этой плоскости равна

'=h+ =h+ ='(h). (4.1)

Удельной энергией сечения '(h) называется удельная энергия потока в данном сечении, определённая относительно горизонтальной плоскости, проходящей через нижнюю точку этого сечения.

Как следует из (4.1) удельная энергия сечения '(h) является функцией только глубины и всегда '(h)> 0 (Q=const, h и S всегда положительные величины).

Выясним связь между величинами Е и ' с точки зрения закона сохранения и превращения энергии (в дальнейшем будем иметь в виду удельную энергию). В точке А, рис. 4.1 поток обладает некоторой кинетической энергией и потенциальной (относительно оси О-О) энергией

.

В дальнейшем, при движении жидкости до точки В кинетическая и потенциальная энергия могут преобразовываться одна в другую, но сумма их непрерывно уменьшается по причине потерь на трение h_w. На рис. 4.3 для двух сечений 1 - 1 и 2 - 2 запишем уравнение Бернулли (всё выводы делаются нами при условии, что уравнение Бернулли применимо к этим сечениям)- рассматриваются не обязательно призматические русла

,

откуда следует, что z+'₁='₂+h_w. (4.2)

Из последнего равенства (4.2) видно, что в зависимости от величин z и h_w на участке потока между сечениями 1 - 1и 2 - 2удельная энергия может как убывать, так и возрастать, оставаясь неизменной лишь при равномерном движении, когда z=h_w (Задача 1.2).

4.3. Свойства функции ' (h) и её график

Рассмотрим функцию '(h) и выполним анализ её зависимости от глубины h потока для заданной формы поперечного сечения и при Q=const. Удельную энергию сечения(4.1)

'(h)=h+

можно рассматривать состоящей из двух частей: удельной потенциальной энергией '_пот.=h и удельной кинетической энергии '_кин.= = (учтено, что V= ).

Из уравнения неразрывности Q=VS=const следует, что если глубина h увеличивается (а следовательно увеличивается и площадь сечения S), то скорость уменьшается и наоборот, при уменьшении h скорость увеличивается. Поэтому тенденции изменения '_пот и '_кин с изменением h противоположны, а именно

если h® 0, то ®¥ и '(h)®¥,

если h®¥, то ® 0 и '(h)®¥.

Следовательно, график функции '(h) в координатах (h;') должен иметь вид кривой с двумя ветвями, уходящими в бесконечность при h® 0 и при h®¥, рис. 4.4. При этом '_пот=h будет иметь вид биссектрисы координатного угла, а '_кин - вид кривой второго порядка. График функции '(h) асимптотически приближается к биссектрисе угла и к вертикальной оси ординат (оси '); очевидно, поэтому, что при некотором значении h функция '(h) принимает минимальное значение.

При h=h_кр функция '(h) принимает минимальные значения и следовательно h=h_кр является точкой экстремума. Из курса высшей математики известно, что при прохождении точки экстремума производная меняет знак. Следовательно и в нашем случае производная d ' /d h будет менять знак при переходе через h=h_кр. Действительно, как следует из рисунка 4.4. d ' /d h <0 при h < h_кр, т.е. для бурных потоков и d ' /d h >0 при h > h_кр, т.е. для спокойных потоков

Задача 4.1. Указать вид графика функции '(h)=h+ в системе координат (' -h), т.е. оси ординат откладывается h, а по оси абсцисс '(h).