Взаимодействие спроса и предложения на рынке с несовершенной конкуренцией

78. Средние издержки фирмы монополиста заданы уравнением: АС = Q² - 12Q + 48, а средняя выручка:

AR = 18 – 1,5Q. определите оптимальный объем выпуска и цену, которую фирма-монополист установит на свою продукцию.

Решение:

Определим функцию общих издержек:

ТС=AC*Q=Q³-12Q²+48Q

Определим функцию выручки:

TR=Q*AR=18Q-1,5Q²

MR=TR ׳ =(18Q-1,5Q²) ׳ =18-3Q

MC= (Q³-12Q²+48Q)^/=3Q²-24Q+48

Согласно правилу максимизации прибыли (MR = MC) приравняем значения соответствующих функций:

3Q²-24Q+48=18-3Q

3Q²-21Q+30=0

Q²-7Q+10=0

Q=5 или Q=2

P= AR =18-1,5*5=10,5 или P=18-1,5*2=15

81. Допустим, фирма полностью монополизировала производство товара А. Следующая информация отражает положение фирмы на рынке: MR= 1000-20Q; TR= 1000Q-10Q²; MC= 100+10Q.

Сколько товара А будет продано и по какой цене, если фирма функционирует как простая монополия?

Решение:

Согласно правилу максимизации прибыли (MR = MC) приравняем значения соответствующих функций: 1000 – 20Q = 100 + 10Q. Тогда объем продукции, максимизирующий прибыль (Q) будет равен 30.

Подставив значения объема продукции, при котором фирма получает максимум прибыли, в формулу общего дохода, определим величину общего дохода: TR = 1000∙30 – 10∙900 = 21000.

Отсюда, рыночная цена монополиста P = AR = TR/Q = 21000:30 = 700.

88. Маркетинговые исследования показали, что спрос преподавателей на услуги плавательного бассейна выражается функцией Q^D _np = 160 - P _np, а спрос студентов - функцией Q^D _cт = 160 - 2 P _cт, где Q - количество абонементов, P - их цена. Затраты на содержание бассейна зависят от числа посещений (проданных абонентов): TC = 5 + 4 Q + 0,2 Q ²

Определите прибыль бассейна, при проведении ценовой дискриминации 3 степени.

Решение:

Предельные затраты: MC = 4 + 0, 4Q.

Количество абонементов, которые необходимо продать преподавателям и студентам для максимизации прибыли бассейна, определяется из решения системы уравнений

160 – 2Qпр = 4 + 0,4(Qпр + Qст);

80 – Qст = 4 + 0,4(Qпр + Qст).

При округлении до целых чисел получаем Qпр = 58; Qст = 37. Эти количества можно продать по ценам Pпр = 102; Pст = 61,5 и получить прибыль

π = 102×58 + 61,5×37 – 5 – 4(58 + 37) – 0,2(58 + 37)2 = 6001,5.

Графическое решение задачи показано на рисунке.

89. Спрос преподавателей на услуги плавательного бассейна выражается функцией Q^D _np = 160 - P _np, а спрос студентов - функцией Q^D _cт = 160 - 2 P _cт, где Q - количество абонементов, P - их цена. Общие затраты на оказание услуг плавательного бассейна: TC = 5 + 0,1 Q ².

Определите:

1. какая цена абонемента обеспечивает максимум прибыли при отказе от ценовой дискриминации;

2. какую прибыль получит бассейн при проведении ценовой дискриминации;

3. как изменятся излишки потребителей после проведения ценовой дискриминации.

Решение:

Поскольку суммарный спрос преподавателей и студентов представляется ломанной линией

то линия предельной выручки имеет разрыв

Графически это представлено на рис.

Линия предельных затрат пересекает разорванную линию предельной выручки при выпуске 72,7 и 123 ед.:

Эти объемы можно продать соответственно по ценам 88 и 65,65 ден. ед. Наибольшую прибыль дает сочетание P = 65,65; Q = 123:

Следовательно, когда ценовая дискриминация не проводится, тогда абонемент в бассейн будет продаваться по цене Р = 65,65, по которой купят 123 абонемента, в том числе это сделают 94 преподавателя и 28 студентов.

При проведении ценовой дискриминации объемы продаж определим в результате решения системы уравнений.

При округлении до целых чисел получаем Q пр = 67; Q ст = 55. Эти количества можно продать по ценам P пр = 93; P ст = 52,5 и получить прибыль

При том же количестве проданных абонементов прибыль возросла на 1068 ден. ед. При этом излишки потребителя у студентов возросли на 178 ден. ед. (рис., горизонтальная штриховка), а у преподавателей сократились на 2201 ден. ед. (рис., вертикальная штриховка); общее сокращение излишков потребителей — 2023 ден. ед., что почти в 2 раза больше прироста прибыли.

92. Кривая рыночного спроса на продукцию, производимую монополистом, задана уравнением Qd =50-0,5P. Кривая общих издержек монополии ТС = 109Q-7Q² +1/3Q³. Какую цену на свою продукцию установит это монополист, стремясь максимизировать прибыль?

Решение:

Определим цену из условия MR = MC:

100 - 4Q = Q² - 14Q + 109 → Q² - 10Q + 9 = 0 → Q₁ = 9; P = 100 - 2·9 = 82

Q₂ = 1; P = 100 - 2·1 = 98

отсюда π₁ = 82·9 - 9³/3 + 7*81 – 109*9 = 81

π₂ = 98·1 - 1³/3 + 7*1 – 109*1 = -4,33

Следовательно, P = 82

95. По данным исследования рынка, кривая спроса представляет собой отрезок прямой, а величина спроса при цене равной 5 рублей за штуку, составляет 300 тысяч штук в год и падает на 30 тысяч штук при увеличении цены на каждый рубль. Какую цену выгодно установить монополисту, если постоянные издержки составляют 150 тысяч рублей в год, а переменные затраты на единицу товара равны 3 рубля?

Решение:

Определим функцию спроса по данным задачи

270=х-6у

300=х-5у

Решив совместно эти два уравнения получим х=450 у=30

Тогда функция спроса имеет вид:

Q=450-30P

Функция затрат ТС=150+3Q

Определим цену из условия MR = MC:

15 – 1/15Q = 3→ Q = 180; P = 15 - 12 = 3

99. Фирма, максимизирующая прибыль, является монополистом на внутреннем рынке, где спрос на ее продукцию задан функцией Qd = 1800-4Р. На внешнем рынке она может продать любое количество продукции по фиксированной мировой цене. Функция общих издержек фирмы имеет вид: ТС = Q² +101,25Q+50. Определите цену внешнего рынка, если известно, что на внутреннем рынке фирма продала ½ произведенной продукции.

Решение:

Пусть m – цена мирового рынка на продукцию монополиста;

Фирма будет продавать продукцию на внутреннем рынке до тех пор, пока ее MRвнутр. не станет равен MR внешнего рынка, т.е. m.

Т.о. объем производства и продаж на внутреннем рынке определяется равенством:

MR внутр. = m

После этого равновесие монополиста определяется условием:

МС=m

(аналогично условию рынка с совершенной конкуренцией)

Т.о. общий объем производства и продаж определяется из равенства:

МС=m

На внутреннем рынке объем производства (q) составит:

Qd=1800-4p

Pd=450-0,25q

MR=TR ׳ =(Pd*q) ׳ =(450q-0,25q²) ׳ =450-0,5q

MR=m

450-0,5q=m

q=2(450-m)

Суммарный объем производства (Q):

МС=ТС ׳ = (Q² +101,25Q+50) ׳ = 2Q +101,25

MC=m

2Q+101,25=m

Q=(m-101,25)/2

Из условия, что q=1/2Q, находим:

2(450-m)=1/2(m-101,25)/2

m=400

Ответ: цена внешнего рынка = 400.

102. Даны функция затрат монополии ТС = 500+ 12Q + 0,5Q² и функция спроса на продукцию этой монополии на двух рынках: Q1 = 400-2Р1, Q2 = 1250-5Р2. Других рынков сбыта нет. Найти объемы продаж и цены на каждом из двух рынков, при которых суммарная прибыль монополии будет максимальной.

Решение:

Если монополист дискриминирует по цене на разных сегментах рынка, то он выравнивает предельные доходы на разных сегментах рынка и продает товар по разным ценам на разных сегментах.

Найдем функцию предельных издержек для суммарного объема выпуска:

MC(Q)=12+Q, где Q=Q1+Q2 (Q1- объем продаж на первом сегменте рынка, а Q2 - объем продаж на втором сегменте рынка).

Функция предельного дохода на первом сегменте: MR1=200-Q1, а функция предельного дохода на втором сегменте MR2=250-0,4Q2.

Для нахождения объема продаж на каждом сегменте надо составить и решить систему уравнений:

MR1=MC(Q1+Q2)

MR1(Q1)=MR2(Q2)

В нашей задаче эта система будет иметь вид:

200-Q1=12+(Q1+Q2)

200-Q1=250-0,4Q2

Решив систему уравнений, найдем Q1=14, Q2=160. Подставив объемы выпуска в функции спросов, найдем цены на разных сегментах:

P1=193, P2=218.

103. Даны функция затрат монополии ТС = 500+ 14Q + 0,25Q² и функция спроса на продукцию этой монополии на двух рынках: Q1 = 600-12Р1, Q2 = 310-6Р2. Других рынков сбыта нет.

Найти объемы продаж и цены на каждом из двух рынков, при которых суммарная прибыль монополии будет максимальной.

Решение:

Если монополист дискриминирует по цене на разных сегментах рынка, то он выравнивает предельные доходы на разных сегментах рынка и продает товар по разным ценам на разных сегментах.

Найдем функцию предельных издержек для суммарного объема выпуска:

MC(Q)=14+0,5Q, где Q=Q1+Q2 (Q1- объем продаж на первом сегменте рынка, а Q2 - объем продаж на втором сегменте рынка).

Функция предельного дохода на первом сегменте: MR1=50-1/6Q1, а функция предельного дохода на втором сегменте MR2=155/3-1/3Q2.

Для нахождения объема продаж на каждом сегменте надо составить и решить систему уравнений:

MR₁=MC(Q₁+Q₂)

MR₁(Q₁)=MR₂(Q₂)

В нашей задаче эта система будет иметь вид:

50-1/6Q₁=14+0,5(Q₁+Q₂)

50-1/6Q₁=155/3-1/3Q₂

Решив систему уравнений, найдем Q1=37, Q2=23. Подставив объемы выпуска в функции спросов, найдем цены на разных сегментах:

P1=47, P2=48.

104. При линейной функции спроса монополия получает максимум прибыли, реализуя 200 ед. продукции по цене 400 рублей. Функция общих затрат монополии TC = 8000 + 200 Q + 0,25 Q ².

Определите:

• Как изменится цена блага, если с каждой проданной его единицы будет взиматься налог в размере 100 рублей?

· Как изменится прибыль монополии?

· Какова сумма получаемого налога?