Основные расчетные формулы. (для модели инвестиционного проекта с дискретным потоком годовых платежей)

(для модели инвестиционного проекта с дискретным потоком годовых платежей).

Чистая современная стоимость проекта:

, (5.1)

где S(k) - члены потока платежей, i - ставка приведения.

Внутренняя норма прибыли проекта является корнем уравнения

, т.е. , (5.2)

где S(k) - заданные коэффициенты.

Срок окупаемости проекта находится из условия:

. (5.3)

При этом все денежные суммы приводятся к одному моменту времени - окончанию инвестиций, и срок окупаемости отсчитывается от этого момента.

Индекс доходности (рентабельности) проекта:

. (5.4)

проектов разного масштаба.

Следует отметить, что индекс доходности u и чистая современная стоимость проекта N являются независимыми показателями инвестиционного проекта, хотя каждый из них определяется величинами и (по формулам (5.1) и (5.4)). Например, анализируются два инвестиционных проекта: для первого =1030 д.е., = 1000 д.е. а для второго =130 д.е., = 100 д.е. У этих проектов будет одинаковая чистая современная стоимость = 1030 – 1000 = 130 – 100 = 30 д.е., но заметно различающиеся индексы доходности: и соответственно.

Рассмотрим далее конкретный пример численного анализа инвестиционного проекта.

Пример 5.1 Провести анализ инвестиционного проекта, которому соответствует следующий дискретный поток годовых платежей: S(0)= –100 д.е., S(1)= –200 д.е., S(2)= 100 д.е., S(3)= 150 д.е., S(4)= 200 д.е. Полный срок проекта 4 года, ставка приведения принимается равной 10% годовых. Требуется найти значения всех четырех основных показателей этого инвестиционного проекта.

Решение. Расчеты начинаем с нахождения по формулам (5.1) приведенных сумм доходов и расходов:

,

Далее, пользуясь найденными значениями S_дох и S_расх, вычисляем чистую современную стоимость проекта

и индекс доходности

.

Расчет внутренней нормы прибыли, как уже отмечалось, представляет собой более трудную задачу. В данном случае необходимо решить относительно неизвестной величины i алгебраическое уравнение четвертой степени:

.

Вначале рассмотрим способ приближенного подбора корня с последующей интерполяцией.

Составим таблицу значений функции для различных значений ставок приведения, начиная со значений, которые меньше средних уровней доходности в данной отрасли экономики (в нашем примере можно начать с = 0,1 = 10% годовых) до тех значений процентной ставки, при которых значения функции становятся отрицательными:

i	0,10	0,12	0,14	0,16	0,18	0,20
(д.е.)	50,1	35,0	21,2	8,5	-3,2	-14,0

Из характера табличной зависимости видно, что корень уравнения находится между значениями процентной ставки 0,16 и 0,18. Его значение можно уточнить, пользуясь линейной интерполяцией между этими точками, т.е. предполагая, что функция на этом участке является приближенно линейной.

В этом случае:

,

где , , , д.е., д.е.

Таким образом, = 17,5%.

Второй способ решения основан на предположении, что значение ставки приведения мало, т.е. . Преобразуем исходное уравнение доходности к виду:

.

Разложим далее левую часть уравнения в степенной ряд с точностью до членов порядка i ². Для этого используем разложения , . После подстановки этих выражений в исходное уравнение и соответствующих преобразований получим квадратное уравнение

,

один из корней которого отрицателен и не удовлетворяет условию задачи, а второй равен .

Численное решение этого уравнения на компьютере дает (с точностью до сотых долей процента) корень i= 17,42%. Таким образом, найденные двумя способами приближенные значения внутренней нормы прибыли достаточно хорошо совпадают с точным.

Оценки показывают, что абсолютная погрешность расчета не превышает 0,5%, если значение ставки приведения не более 20 – 30%, что соответствует в большинстве случаев реальным уровням доходности.

Для нахождения срока окупаемости проекта вычислим сумму расходов, приведенную к моменту окончания инвестиций, т.е. к концу первого года проекта:

= д.е.

Теперь найдем суммы доходов спустя k = 1, 2 и 3 года после окончания инвестиций, приведенные к моменту окончания инвестиций.

Спустя 1 год: д.е;

спустя 2 года: д.е;

спустя 3 года: д.е.

Сравнивая значения с величиной д.е., заключаем, что срок окупаемости проекта лежит между 2 и 3 годами после окончания инвестиций. Для его уточнения, можно воспользоваться линейной интерполяцией между этими точками:

года = 2 года 7 мес.

Ответ. Чистая современная стоимость проекта 50 д.е., индекс доходности 1,18, внутренняя норма прибыли 17,7%, срок окупаемости 2 года 7 мес.

Пример 5.2 Сумма приведенных к началу инвестиционного проекта доходов составляет 1250 д.е., а его индекс доходности равен 1,09. Найти чистую современную стоимость инвестиционного проекта.

Решение. Воспользуемся формулой (5.4), из которой можно найти сумму приведенных к началу инвестиционного проекта расходов:

д.е. Далее по формуле (5.1) находим чистую современную стоимость инвестиционного проекта:

д.е.

Ответ. Чистая современная стоимость проекта 103 д.е.

Пример 5.3 Чистая современная стоимость инвестиционного проекта составляет 130 д.е., а его индекс доходности равен 1,21. Найти суммы приведенных к началу инвестиционного проекта доходов и расходов.

Решение. Для решения этой задачи необходимо совместное рассмотрение соотношений (5.1) и (5.4), как системы уравнений:

.

Решая эту систему, находим S _дох = 749 д.е., S _расх = 619 д.е.

Ответ. Сумма приведенных доходов 749 д.е., сумма приведенных расходов 619 д.е.

6. УЧЕТ ИНФЛЯЦИИ В ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТАХ