Основные расчетные формулы. Итог (формула простых процентов):

Простые проценты:

Итог (формула простых процентов):

. (1.1)

Здесь и далее i – простая процентная ставка наращения, выраженная в процентах годовых.

Коэффициент наращения:

(1.2)

Величина процентных денег:

. (1.3)

Период удвоения:

. (1.4)

Процентная ставка:

(1.5)

Срок финансовой операции:

. (1.6)

Сложные проценты (начисление 1 раз в год):

Итог (формула сложных процентов):

. (1.7)

Коэффициент наращения:

. (1.8)

Величина процентных денег:

. (1.9)

Период удвоения:

. (1.10)

Процентная ставка:

. (1.11)

Срок операции:

. (1.12)

Сложные проценты (начисление m раз в год):

Итог (формула сложных процентов)::

. (1.13)

Коэффициент наращения:

. (1.14)

Величина процентных денег:

. (1.15)

Период удвоения:

. (1.16)

Процентная ставка:

. (1.17)

Срок операции:

. (1.18)

Эффективная годовая процентная ставка:

. (1.19)

. (1.20)

Непрерывное начисление процентов:

Итог:

(1.21)

Здесь δ - процентная ставка, называемая в случае непрерывных процентов также интенсивностью наращения или силой роста.

Коэффициент наращения

. (1.22)

Величина процентных денег:

. (1.23)

Период удвоения:

. (1.24)

Процентная ставка (сила роста):

. (1.25)

Срок операции:

. (1.26)

Эффективная годовая процентная ставка

(1.27)

Средние процентные ставки:

В случае простых процентов

, (1.28)

В случае сложных процентов

. (1.30)

Здесь n ₁, n ₂, … n _k – сроки действия процентных ставок i ₁, i ₁, … i _k соответственно, n – полный срок всей финансовой операции.

Конверсия валюты и наращение процентов:

Итог валютного вклада, осуществляемого по схеме: «Руб.® СКВ ® наращение ® СКВ ® Руб.»:

, (1.33)

где К ₀ и К – начальный и конечный обменные курсы валюты (рублей за единицу валюты), Δ – разность между курсами продажи и покупки валюты, предполагаемая малой.

Соответствующий коэффициент наращения:

. (1.35)

Пример 1.1 Найти коэффициент наращения по схеме простых процентов за 2,5 года, если известно, что период удвоения вклада при этом составляет 6 лет 2 мес.

Решение. Поскольку период удвоения вклада задан, это позволяет из формулы (1.6) выразить величину соответствующей процентной ставки . Подставив это выражение в формулу простых процентов (1.2), получим .

Ответ. Коэффициент наращения 1,405.

Пример 1.2. При начислении простых процентов первоначальный вклад в сумме 1200 д.е. увеличился за 1 год 5 мес. на 210 д.е. Найти соответствующую этой операции процентную ставку и коэффициент наращения.

Решение. В данной задаче 210 д.е. – это величина начисленных на вклад процентных денег. Воспользовавшись формулой (1.3), найдем величину процентной ставки: . Затем из формулы (1.2) находим коэффициент наращения: .

Ответ. Процентная ставка 12,35% годовых; коэффициент наращения 1,175.

Приведенные выше формулы простых процентов описывают не только процесс наращения вклада в банке, но и взаимоотношения между заемщиком и кредитором при получении ссуды (кредита) в случае его погашения одним платежом в конце срока ссуды.

Пример 1.3. Заемщик получил ссуду в размере 2300 д.е. на срок 1 год 3 мес. с погашением в конце срока. Какова процентная ставка по ссуде, если подлежащая возврату сумма составляет 2750 д.е.?

Решение. Величина полученной заемщиком ссуды – это начальная сумма его долга кредитору, т.е. S(0), а подлежащая возврату сумма – итог этого долга (его наращенная сумма), т.е. S(n). Таким образом, для решения этой задачи можно использовать те же приведенные ранее формулы простых процентов. Для расчета процентной ставки применяем формулу (1.5):

.

Ответ. Процентная ставка 15,65% годовых.

Пример 1.4. При начислении простых процентов на исходную сумму она увеличилась за 1 год 2 мес на 14%, а за следующие 9 мес. увеличилась еще на 110 д.е. Найти процентную ставку и величину исходной суммы.

Решение. На первом этапе рассматриваемой финансовой операции увеличение исходной суммы на 14% соответствует коэффициенту наращения 1,14. Зная его значение, можно по формуле (1.5) найти процентную ставку:

.

Далее, рассматривая второй этап финансовой операции, применим формулу для расчета процентных денег (1.3), в которой начальной суммой будет итог предыдущего этапа, т.е. S (7/6):

д.е. по условию задачи.

Из полученной формулы найдем д.е.

Ответ. Процентная ставка 12,0% годовых, исходная сумма 1072 д.е.

В банковской практике модель простых процентов может быть реализована в виде так называемого срочного вклада (депозита). При этом договор вклада предусматривает однократное начисление и выплату процентов в конце срока действия договора по фиксированной процентной ставке. В случае же досрочного изъятия вклада проценты вкладчику выплачиваются по существенно более низкой ставке (составляющей некоторую долю от основной ставки, либо по ставке вкладов «до востребования»). Например, в Сбербанке (данные приводятся по состоянию на декабрь 2005 г.) срочные вклады в рублях принимаются, в частности, на срок 1 год с начислением и выплатой процентов в конце срока. При досрочном изъятии вклада в течение первых 200 дней проценты вкладчику выплачиваются по ставке, равной 1/3 основной ставки срочного вклада, в после первых 200 дней – по ставке, равной 2/3 основной ставки.

Пример 1.5. Вкладчик разместил в Сбербанке 1500 д.е. на условиях срочного вклада на 1 год с начислением 8,5% годовых в конце срока. Какую сумму он получит при при досрочном изъятии вклада через 9 мес.? (Условия досрочного изъятия вклада приведены выше).

Решение. По условиям Сбербанка, т.к. 9 мес. составляют 270 дней, что больше 200 дней, то доход вкладчику будет выплачен по ставке 2/3·8,5% = 5,67% годовых. В этом случае итоговая сумма в соответствии с формулой (1.1) составит: д.е.

При этом максимально возможный по этому вкладу доход (при закрытии вклада в срок) мог бы составить д.е., что заметно больше.

Ответ. Вкладчик получит 1564 д.е.

Формулы простых процентов могут применяться также при описании процессов реинвестирования. Так называется использование итога предыдущей финансовой операции (инвестирования) в качестве начальной суммы для следующей финансовой операции. В банковской практике это означает перезаключение договора вклада на следующий срок с добавлением (причислением) к начальному вкладу всех накопленных ранее процентов.

Пример 1.6. Банк принимает срочные вклады на срок 3 мес. по ставке 13% годовых, на срок 6 мес. по ставке 14,6% годовых, на срок 1 год по ставке 15% годовых. Какой наибольший итог за 1 год (с учетом возможного реинвестирования) может получить вкладчик, внесший в банк в начале года 800 д.е.?

Решение. Используем для решения основную формулу простых процентов (1.1), обозначив три фигурирующие в условии задачи процентные ставки, как i ₁, i ₂ и i ₃. Рассмотрим далее три возможных варианта накопления вклада.

1) При заключении договора вклада на 1 год итог составит

д.е.

2) Если заключить договор вклада на 6 мес., то итог в конце этого срока составит . Перезаключив договор еще на 6 мес. (исходной суммой теперь является ), получим в конце года

д.е.

3) Аналогичная описанной выше процедура четырехкратного перезаключения договора сроком 3 мес. даст в конце года

д.е.

Таким образом, наиболее выгодным с точки зрения инвестора является вариант с реинвестированием шестимесячного депозита.

Ответ. Наибольший возможный итог – 921 д.е. (при реинвестировании шестимесячного депозита).

Пример 1.7. При какой процентной ставке первоначальный вклад увеличится на 80% при ежегодном начислении сложных процентов в течение 4 лет?

Решение. По условию задачи , , т.е. коэффициент наращения в данном случае равен . Далее используем формулу (1.11) для расчета величины процентной ставки:

.

Ответ. При процентной ставке, равной 15,83% годовых.

Пример 1.8. Каков период удвоения вклада при ежегодном начислении сложных процентов, если за 2 года коэффициент наращения составляет 1,31?

Решение. Используя формулы (1.10) и (1.12), можно найти отношение периода удвоения к сроку операции: , откуда 5 лет 2 мес.

Ответ. Период удвоения составляет 5 лет 2 мес.

Пример 1.9. На вклад в банке ежегодно начисляются сложные проценты. При этом итог за первые 2 года равен 1400 д.е., а проценты по вкладу за следующие 3 года составили 450 д.е. Найти первоначальную сумму вклада.

Решение. Прежде всего найдем итоговую сумму за весь срок вклада, т.е. за 5 лет: д.е.

Далее, дважды используя формулу (1.7), запишем систему уравнений

Чтобы исключить неизвестную величину процентной ставки, возведем первое уравнение в степень 5/2 и поделим на второе. В результате получим

д.е.

Ответ. Первоначальная сумма вклада 1163 д.е.

примеры решения задач.

Пример 1.10. Каков срок вклада, если при ежемесячном начислении сложных процентов по ставке 9% годовых на первоначальный вклад в размере 1000 д.е. проценты в конце срока составили 230 д.е.?

Решение. Сначала находим соответствующий этой операции коэффициент наращения: д.е., откуда . Далее по формуле (1.18) находим

2,309 года = 2 года 4 мес.

Ответ. Срок вклада 2 года 4 мес.

Пример 1.11. При ежемесячном начислении сложных процентов на вклад он увеличился за 2 года 3 мес. на 330 д.е. (Первоначальная сумма вклада была равна 1000 д.е.). Найти величину процентной ставки.

Решение. По условию задачи итог вклада составляет

д.е.

Далее для расчета процентной ставки используем формулу (1.17) при m = 12 (начисление процентов ежемесячное, т.е. 12 раз в год):

.

Ответ. Процентная ставка 12,74% годовых.

В договорах банковских вкладов, как правило, сам термин «сложные проценты» отсутствует, он заменяется детальным описанием процедуры начисления процентных денег, например «проценты начисляются на остаток вклада в конце каждого календарного квартала и присоединяются к основной сумме вклада». Ключевым здесь является слово «присоединяются». Если оно присутствует в договоре вклада, то это вклад на условиях сложных процентов, если же нет – то проценты подразумеваются простые.

Реальная практика начисления процентов позволяет применять различные комбинации простых и сложных процентов. Например, если срок вклада больше одного года, но не равен целому числу лет, часто применяется следующая схема: в течение целого числа лет на вклад ежегодно начисляются сложные проценты, а за оставшуюся часть срока начисляются простые проценты.

Пример 1.12. Договор банковского вклада, заключенный на срок 2 года 3 мес., предусматривает в течение двух лет ежегодное начисление сложных процентов, а в течение оставшихся трех месяцев – простых процентов по ставке 8% годовых. Коэффициент наращения за весь срок составляет 1,21. Какова ставка сложных процентов?

Решение. Составляем выражение для итогового коэффициента наращения, используя формулы для коэффициентов наращения простых и сложных процентов (1.2) и (1.8):

, где n ₁ = 2 года, n ₂ = года, i ₂ = 8%, а величина ставки сложных процентов i ₁– неизвестна.

Из полученной формулы выражаем неизвестную величину i ₁:

.

Ответ. Ставка сложных процентов 8,92%.

Пример 1.13. Первый банк начисляет доход по вкладам ежемесячно по сложной процентной ставке 12% годовых, а второй - ежеквартально по сложной процентной ставке 12,3% годовых. В каком банке доход вкладчика за 2 года будет больше и на сколько процентов?

Решение. Для качественного сравнения доходности достаточно вычислить соответствующие эффективные годовые процентные ставки:

,

- таким образом, условия второго банка выгоднее для вкладчика. Далее находим величины доходов вкладчика (т.е. процентных денег ) в первом и во втором банках:

,

.

Очевидно, , а относительная разность этих величин составляет .

Ответ. Доход вкладчика во втором банке больше, чем в первом, на 1,65%.

Пример 1.14. При ежеквартальном наращении по схеме сложных процентов эффективная годовая процентная ставка равна 15,7%. Какова при этом номинальная сложная процентная ставка?

Решение. Эта задача является обратной по отношению к задаче нахождения эффективной годовой процентной ставки. Необходимо из формулы (1.20) выразить i через . После соответствующих алгебраических преобразований получим:

.

Ответ. Номинальная сложная процентная ставка 14,85%.

Пример 1.15. За какое время первоначальный вклад увеличится на 26% при непрерывном начислении сложных процентов с силой роста 10% годовых?

Решение. По условию задачи коэффициент наращения равен .

Далее, используя формулу (1.26), выражаем срок финансовой операции: года = 2 года 3 мес. 22 дня.

Ответ. За 2 года 3 мес. 22 дня.

Пример 1.16. При непрерывном начислении сложных процентов эффективная годовая процентная ставка составляет 15,1% годовых. Каков при этом период удвоения вклада?

Решение. Логарифмируя формулу (1.27) для эффективной годовой процентной ставки, выразим из нее силу роста: , и подставим ее в формулу (1.24):

= 4 года 11 мес. 4 дня.

Ответ. Период удвоения вклада 4 года 11 мес. 4 дня.

Пример 1.17. Найти силу роста, при которой исходный вклад в сумме 800 д.е. увеличится на 140 д.е. за 1 год 2 мес. при непрерывном начислении сложных процентов.

Решение. Находим коэффициент наращения, который по условию задачи равен . Затем для расчета силы роста используем формулу (1.25): .

Ответ. Сила роста 13,82%.

Пример 1.18. Первый банк начисляет проценты по вкладам по простой процентной ставке 13,5% годовых, а второй банк - непрерывно по ставке 12,5% годовых. В каком банке итог за два года (при одной и той же исходной сумме) будет больше и на сколько процентов?

Решение. Сравнение итогов проведем, сравнивая соответствующие коэффициенты наращения, которые можно найти по формулам (1.2) и (1.22):

В первом банке ,

Во втором банке . Как видно, итог во втором банке будет больше. Найдем соответствующую относительную разность

.

Ответ. Во втором банке итог будет больше на 1,1%.

Пример 1.19. По вкладу начисляются простые проценты: в течение первых 8 мес. по ставке 7% годовых, затем в течение 6 мес. по ставке 10% годовых, последние 10 мес. – по ставке 11% годовых. Найти среднюю процентную ставку.

Решение. Полный срок операции составляет 8 + 6 + 10 = 24 мес. = 2 года. Используя формулу (1.28), найдем

.

Ответ. Средняя процентная ставка 9,42%.

Пример 1.20. По вкладу начисляются сложные проценты: в течение первых двух лет по ставке 9,5% годовых, затем в течение одного года по ставке 10% годовых, последние два года – по ставке 12% годовых. Найти среднюю процентную ставку.

Решение. Полный срок операции наращения составляет 2 + 1 + 2 = 5 лет. Для расчета средней процентной ставки используем формулу (1.30):

=10,59%.

Ответ. Средняя процентная ставка 10,59%.

Пример 1.21. Вкладчик предполагает разместить в банке 20000 руб. сроком на 1 год, из которых одну половину внести на рублевый депозит, а вторую – на валютный (в долларах США). Процентные ставки банка по рублевому и валютному вкладам составляют 10% годовых и 7,5% годовых соответственно, курс доллара в начале срока – 28,7 руб./долл., в конце срока прогнозируется на уровне 29,5 руб./долл., Δ = 0,5 руб./долл. Какую сумму (в рублях) получит через год вкладчик по каждому вкладу?

Решение. Используя формулу (1.33), находим:

итог по рублевому вкладу руб.,

итог по валютному вкладу

руб.

Таким образом, рублевый депозит в данных условиях оказался для вкладчика выгоднее.

Ответ. По рублевому вкладу 11000 руб., по валютному вкладу 10857 руб.

Заметим, что полное исследование задач наращения вклада с учетом валютообменных операций требует выхода за рамки детерминированной финансовой математики, поскольку будущее значение обменного курса валюты (как и показатели инфляции) заранее неизвестно и является случайной величиной.

2. ДИСКОНТИРОВАНИЕ. Эквивалентность ставок