Основные расчетные формулы. Формула для нахождения датированной суммы S(n2), эквивалентной сумме S(n1), т.е

Формула для нахождения датированной суммы S(n ₂), эквивалентной сумме S(n ₁), т.е. для приведения суммы S(n ₁) к моменту времени n ₂ по ставке приведения i:

. (3.1)

Пример 3.1. Заемщик должен выплатить 1000 д.е. через 2 года. Найти эквивалентные (по ставке 12% годовых) значения этого долга для трех случаев: 1) сегодня; 2) через год; 3) через три года. Схема операции (для первого из трех случаев) показана на рис. 3.

Решение. В принятых стандартных обозначениях имеем: S(2) = 1000 д.е., i = 12% = 0,12. Необходимо найти S(0), S(1) и S(3).

Для решения используем формулу (3.1). В первом случае приведенная сумма составляет = 797 д.е.,

т.е. является дисконтированной на сегодня суммой S(2) (ее современной стоимостью).

Во втором случае приведенная сумма составляет

д.е.,

т.е. также является дисконтированной суммой S(2) (такова будет ее стоимость через год).

Наконец, в третьем случае приведенная сумма равна

д.е.,

она является наращенной суммой S(2) (такова будет ее стоимость через 3 года).

Ответ. В первом случае 797 д.е., во втором 893 д.е., в третьем 1120 д.е.

Пример 3.2. Платежи S(2) и S(3) эквивалентны по некоторой ставке приведения, а современное значение платежа S(2) на 22% меньше платежа S(3). Найти ставку приведения.

Решение. Запишем на основании формулы (3.1) условие эквивалентности S(2) и S(3): . Современное значение платежа S(2), по условию задачи, составляет:

.

После сокращения на S(2) имеем уравнение , откуда находим .

Ответ. Ставка приведения 8,63% годовых.

Пример 3.3. Платежи S(1) = 1100 д.е. и S(2) эквивалентны между собой. На сколько д.е. их современная стоимость отличается от величины S(2), если ставка приведения равна 14% годовых?

Решение. Применяя дважды формулу приведения (3.1), найдем

965 д.е.,

= 1100·1,14 = 1254 д.е.

Составляем разность д.е.

Ответ. Меньше на 289 д.е.

Понятие эквивалентного значения потока платежей дает возможность заменять поток из многих платежей одним эквивалентным ему платежом (консолидация платежей).

Пример 3.4. Контракт между фирмой и банком предусматривает погашение фирмой предоставленного ей кредита следующим потоком платежей: S(0) = 800 д.е., S(1) = 1000 д.е., S(2) = 900 д.е. В связи с изменившимися обстоятельствами фирма просит консолидировать долг с тем, чтобы выплатить его через 3 года одним платежом. Стороны договорились, что ставка приведения принимается равной 9% годовых. Какова величина консолидированного платежа? (Схема операции показана на рис. 4).

Решение. Необходимо найти величину S(3), которая является эквивалентным значением данного потока платежей на момент времени n = 3 года по ставке приведения 9% годовых.

Суммируя найденные по формуле (3.1) эквивалентные значения каждого из платежей, получим:

д.е.

Ответ. S(3) = 3205 д.е.

Заметим, что найденная величина консолидированного платежа заметно больше алгебраической суммы платежей 800 + 1000 + 900 = 2700 д.е., т.к. она состоит из слагаемых, наращенных к дате n = 3 года.

Пример 3.5. Поток состоит из трех годовых платежей, два из которых: S(1) = 400 д.е. и S(3) = 700 д.е. Найти величину третьего платежа S(2), если известно, что эквивалентный этому потоку (по ставке 8% годовых) платеж S₁(3) в 2,5 раза больше платежа S(2). (Схема операции показана на рис. 5).

Решение. Приравнивая эквивалентное значение исходного потока платежей, найденное для момента времени n = 3, платежу S₁(3), получим соотношение

. С учетом того, что по условию задачи S₁(3) = 2,5S(2), выразим из этого соотношения неизвестную величину S(2):

д.е.

Ответ. S(2) = 822 д.е.

Пример 3.6. Найти средний срок потока платежей S(0) = 100 д.е., S(2) = 200 д.е., S(5) = 400 д.е. по ставке 7% годовых. (Схема операции показана на рис. 6).

Решение. Необходимо найти, для какого срока n _ср эквивалентным значением данного потока является величина 100 + 200 + 400 = 700 д.е.

Используя общую формулу (3.1), получим соотношение

, откуда после преобразований находим

= года = 3 года 3 мес. 18 дней.

Ответ. Средний срок потока платежей 3 года 3 мес.18 дней.

Рассмотрим далее примеры применения уравнения эквивалентности в конкретных задачах.

Пример 3.7. Необходимо заменить поток платежей S(1) = 500 д.е., S(2) = =300 д.е., S(5) = 400 д.е. эквивалентным ему (по ставке 10% годовых) потоком, состоящим из двух платежей, один из которых S(0) = 600 д.е., а второй производится в момент времени n = 4. Найти величину этого платежа. (Схема операции показана на рис. 7).

Решение. Обозначим величину неизвестного платежа S(4) = x и составим уравнение эквивалентности. В данном случае удобно выбрать в качестве момента приведения n = 4, тогда уравнение будет иметь наиболее простой вид:

,

откуда находим

д.е.

Ответ. Величина платежа S(4) = 514 д.е.

С помощью уравнения эквивалентности можно также находить неизвестную дату одного из платежей.

Пример 3.8. Дан поток, состоящий из двух платежей: S(0) = 200 д.е., S(2) = =500 д.е. Необходимо заменить этот поток эквивалентным ему (по ставке 12% годовых с ежемесячным начислением) потоком, состоящим из двух одинаковых по величине платежей, один из которых S(1) = 400 д.е., а дата второго неизвестна. Найти эту дату.

Решение. Обозначим неизвестную дату второго платежа и составим уравнение эквивалентности, выбрав в качестве момента приведения начальный момент времени n = 0:

.

Выражая из этого соотношения величину x, находим после логарифмирования

= 4,320 года = 4 года 4 мес.

Ответ. Дата второго платежа 4 года 4 мес.

Решение уравнения эквивалентности относительно неизвестного значения ставки приведения представляет собой наиболее сложную задачу, т.к. в общем случае такое уравнение сводится к алгебраическому уравнению высокой степени, которое может быть решено только приближенно, численными методами (наиболее часто используется метод касательных Ньютона) или подбором с уточнением результата с помощью линейной интерполяции.

Однако в частных случаях расчеты могут быть достаточно простыми. Например, если даты всех годовых платежей рассматриваемых потоков отличаются друг от друга не более, чем на 2 года, то уравнение эквивалентности относительно неизвестного значения ставки приведения сводится к квадратному уравнению.

Пример 3.9. Для какой ставки приведения поток, состоящий из платежей S₁(0) = 100 д.е. и S(1) = 150 д.е., эквивалентен потоку, состоящему из платежей S₂(0) = 130 д.е. и S(2) = 135 д.е.?

Решение. В данном случае удобно составить уравнение эквивалентности, выбрав в качестве момента приведения начальный момент времени (т.к. ему соответствуют два платежа):

.

Обозначив неизвестную величину и подставив численные значения платежей, получим уравнение

,

которое после преобразования приводится к стандартному квадратному уравнению

.

Корнем этого уравнения, удовлетворяющим условию задачи, является , что соответствует значению ставки приведения i = 0,1771= =17,71%. (При этом второй корень квадратного уравнения приводит к нереально большому значению ставки i = 282% годовых и может быть отброшен по смыслу задачи).

Ответ. Ставка приведения 17,71% годовых.

Рассмотрим далее один из простых методов приближенного нахождения ставки приведения, если уравнение эквивалентности является алгебраическим уравнением третьего или более высокого порядка.

Пример 3.10. Для какой ставки приведения поток, состоящий из платежей S(0) = 300 д.е. и S(2) = 400 д.е., эквивалентен потоку, состоящему из платежей S(1) = 300 д.е. и S(3) = 500 д.е.? (Схема операции показана на рис. 8).

Решение. Составим уравнение эквивалентности, выбрав в качестве момента приведения момент времени n = 3:

, т.е.

.

Найдем приближенное решение этого уравнения, предполагая значение ставки приведения малым, т.е. . Для этого разложим первое слагаемое левой части уравнения в степенной ряд (с точностью до членов порядка i ²): .

После этого исходное уравнение сводится к квадратному, которое после тождественных преобразований примет следующий стандартный вид:

.

Один из корней этого уравнения отрицателен и должен быть отброшен, а второй равен .

Ответ. Ставка приведения 12,9% годовых.

Численное решение исходного уравнения на компьютере дает (с точностью до 0,01%) значение ставки приведения i = 12,79%. Таким образом, найденное приближенное решение достаточно хорошо совпадает с точным (при необходимости его можно уточнить, например, с помощью линейной интерполяции). Оценки показывают, что абсолютная погрешность расчета таким методом не превышает 0,5%, если значение ставки приведения не более 20 – 30%, что соответствует в большинстве случаев реальным уровням доходности.

4. ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ