Эквивалентность ставок

Условие эквивалентности простых ставок наращения и дисконта:

. (2.14)

Эквивалентные простая ставка наращения и простая учетная ставка:

и . (2.15)

Условие эквивалентности сложных ставок наращения и дисконта (при ежегодном начислении):

, (2.16)

Эквивалентные сложные ставки:

и . (2.17)

Условие эквивалентности сложных ставок наращения и дисконта (при начислении m раз в год):

, (2.18)

Эквивалентные сложные ставки:

и . (2.19)

Эквивалентность простой ставки наращения и учетной ставки при дисконтировании m раз в год:

, (2.20)

Эквивалентность ставки наращения при непрерывном начислении процентов и простой учетной ставки:

, (2.21)

Пример 2.1. При математическом дисконтировании коэффициент дисконтирования равен 0,62 при сроке операции 3 года. Какова соответствующая этой финансовой операции сложная процентная ставка наращения?

Решение. Из формулы (2.4) для коэффициента дисконтирования выражаем величину соответствующей этой операции сложной процентной ставки наращения:

, откуда .

Ответ. Сложная процентная ставка 17,27% годовых.

Пример 2.2. Каков срок ссуды, если коэффициент дисконтирования равен 0,84 при дисконтировании по простой ставке наращения 19 % годовых?

Решение. Для решения воспользуемся формулой (2.3) для коэффициента дисконтирования по простой ставке наращения, из которой выразим величину срока ссуды = 1 год 1 мес. 26 дней.

Ответ. Срок ссуды 1 год 1 мес. 26 дней.

Пример 2.3. Заемщик должен уплатить 1800 д.е. через 8 месяцев после получения им ссуды (по простой ставке наращения 21% годовых). Найти величину дисконта и коэффициент дисконтирования.

Решение. Вначале, зная срок и процентную ставку, найдем по формуле (2.3) соответствующий коэффициент дисконтирования: .

Величина дисконта находится по одной из формул (2.2):

д.е.

Ответ. Величина дисконта 221 д.е., коэффициент дисконтирования 0,877.

Типичный пример применения банковского учета – учет векселей.

Векселем называется долговое обязательство, в котором указана сумма долга, подлежащая выплате S(n) (номинал векселя) и дата этой выплаты (дата погашения векселя). Вексель является одним из видов ценных бумаг, которые могут обращаться на вторичном рынке, т.е. продаваться и покупаться. Например, держатель такого долгового обязательства может реализовать его досрочно: банк покупает (учитывает) вексель, но за более низкую, чем S(n), цену, т.е. со скидкой (дисконтом).

Пример 2.4. Владелец векселя на сумму 1300 д.е. желает продать его за 8 месяцев до даты погашения. Банк учитывает этот вексель по простой учетной ставке 21% годовых. Какова величина дисконта и какую сумму получит владелец векселя при его продаже?

Решение. Имеем д.е., года. Прежде всего находим по формуле (2.8) величину дисконта: д.е. Таким образом, владелец векселя получит при его продаже сумму, равную номиналу векселя за вычетом дисконта: = 1300 - 182 = 1118 д.е.

Ответ. Величина дисконта 182 д.е., при продаже векселя будет получена сумма 1118 д.е.

Пример 2.5. Вкладчик желает разместить в банке сумму 2500 д.е. Банк предлагает оформить вклад на 2 года с ежеквартальным начислением по сложной ставке 12% годовых или купить на эту сумму вексель банка со сроком погашения 2 года по сложной учетной ставке 12% годовых. В каком случае итоговая сумма будет больше и на сколько д.е.?

Решение. В первом случае итоговая сумма находится по формуле (1.13): д.е., во втором случае необходимо использовать формулы (2.1) и (2.9):

д.е.

Во втором случае итоговая сумма оказывается больше на 3228 – 3167 = 61 д.е.

Ответ. При покупке векселя итоговая сумма будет больше на 61 д.е.

Пример 2.6. Найти эффективную годовую учетную ставку для ежемесячного дисконтирования по сложной учетной ставке 22,5% годовых.

Решение. Для решения задачи используем формулу (2.13), в которой полагаем m = 12:

. Как и следовало ожидать, < d.

Ответ. Эффективная годовая учетная ставка 20,32% годовых.

Пример 2.7. Каков срок ссуды, если ее величина в 1,5 раза меньше итога, а сложная учетная ставка составляет 18% годовых при ежеквартальном дисконтировании?

Решение. Имеем: . Логарифмируя формулу (2.11), получим года = 2 года 28 дней.

Ответ. Срок ссуды 2 года 28 дней.

Пример 2.8. Выдана ссуда на условиях простой учетной ставки в размере 500 д.е. сроком на 10 мес. Подлежащая возврату сумма составляет 630 д.е. Каков критический срок для таких условий финансовой операции?

Решение. Сначала находим соответствующий коэффициент дисконтирования: . Далее, используя формулу (2.7) дисконтирования по простой учетной ставке, получим = 4 года 16 дней.

Ответ. Критический срок операции 4 года 16 дней.

Пример 2.9. Найти сложную ставку наращения с ежемесячным начислением процентов, эквивалентную простой ставке наращения 23% годовых при сроке операции 1 год 2 мес.

Решение. Условие эквивалентности для данного случая будет иметь вид , где i ₁и i ₂– простая и сложная ставки соответственно.

Проведя необходимые преобразования, получим расчетную формулу .

Ответ. Сложная ставка наращения 20,55% годовых.

Пример 2.10. Найти простую учетную ставку, эквивалентную сложной учетной ставке 10,5% годовых при непрерывном дисконтировании, если срок операции 8 мес.

Решение. Условие эквивалентности для данного случая будет иметь вид , где d ₁и d ₂– простая и сложная учетные ставки соответственно.

Выражая из этой формулы величину d ₁, получим

.

Ответ. Простая учетная ставка 10,14% годовых.

Пример 2.11. Определить простую ставку дисконта, эквивалентную простой ставке наращения в случаях: a) i = 25% годовых; б) i = 5% годовых. (Срок операции 1,5 года).

Решение. Используя формулы (2.15), получим в первом случае (различия эквивалентных ставок i и d при этом оказываются существенными), во втором случае 0,0465 = 4,65% (различия ставок можно считать несущественными).

Ответ. a) d =18,18% годовых, б) d = 4,65% годовых.

и т.д.

Подчеркнем, что для любых эквивалентных ставок наращения и дисконта выполняется общее соотношение (ставка наращения всегда больше эквивалентной ей учетной ставки).

Пример 2.12. Определить силу роста при непрерывном начислении сложных процентов, эквивалентную простой учетной ставке d = 15% годовых при сроке операции 1 год 2 мес.

Решение. Логарифмируя приведенную выше формулу , получим

.

Ответ. Эквивалентная ставка наращения 16,49% годовых.

Пример 2.13. Найти сложную учетную ставку при ежемесячном дисконтировании, эквивалентную простой ставке наращения 14,5% годовых при сроке операции 2,5 года.

Решение. Из приведенного выше для этого случая соотношения эквивалентности можно выразить сложную учетную ставку:

.

Ответ. Эквивалентная учетная ставка 12,31% годовых.

Пример 2.14. Рассматривается дисконтирование по сложной учетной ставке 19% годовых m раз в год. При каких значениях m относительное отличие эквивалентной сложной ставки наращения (с начислением m раз в год) от этой учетной ставки не превышает 10%?

Решение. Условие эквивалентности для данного случая было приведено выше (формула (2.18)). Из него были получены соотношения между эквивалентными ставками (формулы (2.19)). Возьмем первое из них в виде и потребуем выполнения условия . После преобразований получим неравенство . Наименьшее натуральное значение m, удовлетворяющее этому неравенству, равно 3.

Ответ. При .

3. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ