Сложные проценты

В модели сложных процентов, в отличие от рассмотренной выше модели простых процентов, величина процентных денег на каждом этапе увеличивается (базой для начисления процентов является при этом итог предыдущего этапа - происходит, как говорят, «начисление процентов на проценты» или капитализация процентов).

В этом случае итоговая сумма в конце каждого периода наращения составит

,

, и т.д.

Приведенные величины образуют возрастающую геометрическую прогрессию со знаменателем , большим единицы, причем итог через произвольное число лет n составит

.

Эта формула и называется формулой сложных процентов (при начислении один раз за базовый период, т.е. один раз в год).

Как и для модели простых процентов, вводится коэффициент наращения, который в данном случае равен

и также всегда больше единицы.

При достаточно больших сроках финансовой операции наращение итога по схеме сложных процентов происходит существенно быстрее, чем в случае простых процентов.

Качественно различие моделей простых и сложных процентов проявляется при сравнении графиков соответствующих коэффициентов наращения, как функций времени . Изобразим совместно (рис.1.) два таких графика: и .

Первый из них - линейная возрастающая функция, а второй - возрастающая показательная функция с основанием, большим единицы.

Видно, что при коэффициент наращения увеличивается быстрее с увеличением n, чем коэффициент наращения .

Однако при , независимо от величины процентной ставки, коэффициенты наращения совпадают, а при значения коэффициента наращения для простых процентов оказываются больше (хотя это отличие и незначительно).

Таким образом, при произвольных, но равных процентных ставках простых и сложных процентов и сроке операции меньше 1 года схема простых процентов обеспечивает больший коэффициент наращения.

При обсуждении модели сложных процентов иногда для иллюстрации рассматривают гипотетические примеры наращения денежных сумм в течение многих лет. Так, при сложной ставке 10% годовых и сроке операции 100 лет коэффициент наращения будет иметь огромную величину:

,

а по формуле простых процентов за тот же срок и с той же величиной процентной ставки – существенно меньше:

.

Следует отметить, что реальность подобных финансовых операций определяется, конечно, уже не только математическими формулами.

Рассмотрим далее случай начисления сложных процентов раз в год. Как и ранее для модели простых процентов, при этом на каждом этапе начисляется соответствующая доля годовых процентов, а общее число начислений увеличивается и становится равным . Для получения соответствующей зависимости заменяем в формуле сложных процентов . Тогда формула для расчета итога приобретает вид

.

Здесь i – годовая процентная ставка, - полный срок финансовой операции, выраженный в годах, - общее число начислений процентов за весь срок.

Видно, что для модели сложных процентов, в отличие от модели простых процентов, итог финансовой операции зависит от числа начислений процентов в год. Более подробно характер этой зависимости будет проанализирован в дальнейшем.

Приведем далее готовые расчетные формулы для нахождения показателей финансовой операции наращения по схеме сложных процентов (для наиболее общего случая с начислением процентов раз в год). Этих показателей пять, и любой из них (кроме m) может быть выражен через остальные четыре, если они известны:

1) итог операции: ,

2) коэффициент наращения: ,

3) исходная сумма (современная стоимость итога): ,

4) процентная ставка: ,

5) срок операции (выраженный в годах): .

В частном случае начисления процентов один раз в год в этих формулах достаточно положить = 1.

Реальная банковская практика начисления процентов позволяет применять различные комбинации простых и сложных процентов. Например, если срок вклада больше одного года, но не равен целому числу лет, часто применяется следующая схема: в течение целого числа лет на вклад ежегодно начисляются сложные проценты, а за оставшуюся часть срока начисляются простые проценты.

В заключение этого раздела заметим, что роль сложной процентной ставки в финансовых расчетах не ограничивается ее использованием в простейших операциях наращения. Как будет показано в дальнейшем, сложная процентная ставка играет в финансовой математике фундаментальную роль, тесно связанную с самой сущностью принципа финансовой эквивалентности.