Простые проценты

Рассмотрим более конкретно простейшую кредитную операцию – предоставление инвестором своих денежных средств во временное пользование заемщику. Наиболее наглядная интерпретация такой операции (хотя и не единственно возможная) – накопление вклада в банке.

Как уже отмечалось, в финансовой математике все денежные величины носят характер датированных сумм, поэтому для однозначного задания какой-либо денежной суммы одновременно указывается ее дата (срок, выраженный в годах, от начала финансовой операции).

Пусть в начальный момент времени инвестор предоставил заемщику денежные средства (вклад) в размере . Будем предполагать, что начисление процентных денег происходит периодически один раз в год.

Тогда за каждый год на исходную сумму начисляются процентные деньги, представляющие собой определенную долю (процент) от этой суммы:

.

В этой формуле фигурирует важнейший показатель любой финансовой операции – процентная ставка, в данном случае простая процентная ставка наращения , выраженная, как это принято, в процентах годовых.

Заметим, что все процентные ставки в финансовой математике (и в практике финансовых расчетов) являются, как правило, годовыми – даже если срок финансовой операции измеряется днями. Это позволяет сравнивать доходность разноообразных финансовых операций (как краткосрочных, так и долгосрочных), выражая ее в процентах годовых.

Заметим далее, что проценты удобно использовать в тексте и в устной речи, а в математических формулах соответствующие им величины выражают обычно в виде десятичных дробей (долей единицы) без символа процентов. Поэтому условимся здесь и в дальнейшем считать, что . При этом величина , выраженная в виде десятичной дроби, называется иногда относительной процентной ставкой. Например, если задана процентная ставка =10% годовых, то в расчетных формулах она будет фигурировать в виде относительной процентной ставки, обозначенной той же буквой: = 0,1. В дальнейшем, как это принято, термин «относительная» будем опускать.

При начислении процентов на первоначальный вклад по указанному выше правилу итоговая сумма в конце каждого периода составит

,

, и т.д.

Видно, что эти величины образуют возрастающую арифметическую про-грессию с положительной разностью, равной , причем итог через произвольное число лет n составит

.

Последняя формула и называется формулой простых процентов. Таким образом, в модели простых процентов величина процентных денег , начисляемых на каждом этапе, остается постоянной (т.к. базой для начисления процентов является постоянная величина ).

Величина называется итогом (итоговой суммой), а величина

- коэффициентом наращения. Этот коэффициент, который всегда больше единицы, является одной из важнейших характеристик процесса наращения: он показывает, во сколько раз итог больше исходной суммы, т.е. во сколько раз увеличится первоначальный вклад за весь срок операции.

Полученная формула является достаточно универсальной, она описывает многие процессы на финансовом рынке: накопление вклада в банке, наращение долга заемщика кредитору и т.д.

Любая из четырех величин, фигурирующая в формуле простых процентов (показатели этой финансовой операции), может быть легко выражена через остальные три, если они известны.

В ряде задач используется выражение для величины процентных денег (за весь срок финансовой операции):

.

Кроме того, характерным временным показателем процесса наращения является период удвоения вклада Т. Так называется срок, за который первоначальный вклад увеличивается в 2 раза, т.е. коэффициент наращения становится равным 2. Пользуясь формулой простых процентов, можно получить для периода удвоения простое выражение

.

Напомним, что в этой формуле, как и везде, период удвоения выражен в годах, а процентная ставка – в виде десятичной дроби.

В реальной практике проценты могут начисляться несколько раз в год - раз в полгода, ежеквартально, ежемесячно и даже чаще. Обозначим число начислений процентов в год . Важно отметить, что при этом на каждом этапе в виде процентных денег начисляется соответствующая доля годовых процентов , а общее число начислений увеличивается и становится равным . В этом случае формула простых процентов приобретает вид

,

т.е. фактически не изменяется по сравнению с исходной. Она может быть также легко получена из первоначальной формулы простых процентов путем замены .

Таким образом, в модели простых процентов итог финансовой операции не зависит от числа начислений процентов в год, а срок операции может выражаться нецелым числом лет (он может быть и меньше одного года). В связи с этим расчеты по формуле простых процентов действительно являются относительно несложными. Особенно часто эта модель применяется для описания краткосрочных кредитных операций.