Решение. Составим задачу, двойственную к исходной, и запишем ограничения:

Составим задачу, двойственную к исходной, и запишем ограничения:

Решим полученную задачу симплекс – методом.

Сведем задачу на максимум к задаче на минимум. Для этого целевую функцию умножим на -1, получим

Вводим неотрицательные дополнительные переменные для приведения задачи к каноническому виду:

Базисные перемененные , свободные .

Выражаем базисные переменные через свободные:

Получим систему уравнений допустимого вида.

Для составления первой симплекс – таблицы запишем задачу в виде:

Таблица 1

Базисные переменные	Свободные члены							Отно- шение
W		5

В последней строке есть положительные коэффициенты. Возьмем коэффициент в столбце переменной . Разрешающим элементом является 3.

Строим таблицу 2.

Для этого умножаем выделенную стрелкой строку на 1/3 и записываем результат вместо этой строки в таблицу 2.

Умножаем третью строку новой таблицы на (-1) и складываем с первой, умножаем на (-2) и складываем со второй, умножаем на (-5) и складываем с четвертой строкой старой таблицы.

Таблица 2

Базисные переменные	Свободные члены							Отно- шение
			2/3	-1			-1/3
			1/3	-2			-2/3
			1/3				1/3
W	-15		1/3	-6			-5/3

В новой таблице последняя строка имеет положительный коэффициент в столбце переменной . Разрешающим элементом является 1/3.

Строим таблицу 3. Для этого умножаем выделенную стрелкой строку на и записываем результат вместо этой строки в таблицу 3.

Умножаем вторую строку новой таблицы на и складываем с первой, на и складываем с третьей и на и складываем с четвертой строкой предыдущей таблицы.

Таблица 3

Базисные переменные	Свободные члены
						-2
				-6			-2
						-1
W1	-16			-4		-1	-1

В полученной таблице последняя строка не имеет положительных чисел в последних шести столбцах. Значит, достигнуто оптимальное решение. Базисным решением для переменных являются соответственно свободные члены. Базисное решение для свободных переменных равно нулю. Таким образом, оптимальное решение имеет вид:

=2, =3, =1, =0, =0, =0,

,

.

Подставим оптимальное решение в систему ограничений. Получим, что первое второе ограничение выполняется как строгое неравенство:

По теореме 2 следует, что соответствующая координата оптимального решения двойственной задачи, то есть исходной задачи, равна нулю: .

Учитывая это и в силу теоремы 2, из системы ограничений исходной задачи получим систему:

Данная система получаетcя в силу того, что , следовательно первое и второе ограничения исходной задачи удовлетворяются оптимальным решением как равенство.

Решив систему:

получим .

Оптимальное решение исходной задачи

Ответ: