Пример 1. Объемы промежуточной продукции в линейной статической модели Леонтьева представлены матрицей , а объемы валовых выпусков – вектором

Объемы промежуточной продукции в линейной статической модели Леонтьева представлены матрицей , а объемы валовых выпусков – вектором . Найти объемы конечного продукта.

Решение:
В модели Леонтьева валовой выпуск , конечный продукт и промежуточное потребление связаны системой уравнений:

Тогда

То есть .

Пример 2. Матрица коэффициентов прямых затрат линейной статической модели Леонтьева имеет вид , а объемы валовых выпусков представлены вектором . Найти объемы промежуточной продукции.

Решение:
Коэффициенты прямых затрат вычисляются по формуле , где – объем промежуточной продукции -ой отрасли, который используется в -ой отрасли, – объем валового выпуска в -ой отрасли. Тогда , то есть .

В линейной статической модели Леонтьева объемы конечного продукта представлены вектором , объемы валовых выпусков – вектором . Тогда объемы промежуточной продукции можно представить матрицей …

Решение:
В модели Леонтьева валовой выпуск , конечный продукт и промежуточное потребление связаны системой уравнений:

Тогда объемы промежуточной продукции можно представить матрицей:
.

Пример 4.

Статическая линейная модель межотраслевого баланса Леонтьева представлена системой уравнений:

Найти матрицу коэффициентов прямых затрат.

Решение:
Статическая линейная модель межотраслевого баланса Леонтьева в матричной форме моделируется системой , где – единичная матрица. Тогда матрица коэффициентов прямых затрат будет равна:
.

Пример 5. Статическая линейная модель Леонтьева многоотраслевой экономики продуктивна. Укажите номер ячейки, где записана матрица коэффициентов прямых затрат:

a) ;	b) ;
c) ;	d)

Решение:
Во-первых, коэффициенты прямых затрат вычисляются по формуле , где – объем промежуточной продукции -ой отрасли, который используется в -ой отрасли, – объем валового выпуска в -ой отрасли, то есть . Во-вторых, модель Леонтьева продуктивна, если сумма элементов каждой строки матрицы не больше единицы и хотя бы для одной строки эта сумма меньше единицы. Обоим этим условиям удовлетворяет матрица

Пример 6.

Укажите номер ячейки, где записана матрица коэффициентов прямых затрат статической линейной модели Леонтьева:

a) ;	b) ;
c) ;	d)

Решение:
Коэффициенты полных затрат показывают, на сколько единиц увеличится валовой выпуск ой отрасли при увеличении конечного выпуска в ой отрасли на одну единицу. Поэтому , а , при . Этим условиям удовлетворяет матрица
.

Пример 7. Матрица коэффициентов прямых затрат линейной статической модели Леонтьева имеет вид . Запишите систему уравнений модели межотраслевого баланса

Решение:

Статическая линейная модель межотраслевого баланса Леонтьева в матричной форме моделируется системой , где – единичная матрица. В данном случае , тогда система уравнений модели межотраслевого баланса выглядит следующим образом:

Пример 8. В линейной статической модели Леонтьева объемы конечного продукта представлены вектором , матрица коэффициентов полных затрат имеет вид . Найти объемы валовых выпусков.

Решение:
Объемы валовых выпусков (вектор) определяются в модели межотраслевого баланса из уравнения , где – матрица коэффициентов полных затрат, а – вектор конечного продукта. Тогда

Пример 9. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в усл. ден. ед.:

№ п/п	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
	Добыча и переработка углеводородов
	Энергетика
	Машиностроение

Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 60, 70 и 30 условных денежных единиц.