Определение ценности дополнительной единицы дефицитного ресурса

Результаты анализа сведем в таблицу:

Ограничение	Тип ресурса	Максимальное изменение запаса ресурса	Максимальное изменение ЦФ
Ограничение по времени работы дубильного участка	Дефицитный	47-45=2 ч	ден.ед.
Ограничение по времени работы раскройного участка	Дефицитный	125-65=60 ч
ограничение по времени работы завершающего участка	Недефицитный	165-150=15 ч

Ценность дополнительной единицы ресурса (теневая цена):

Ценность каждого дополнительного часа работы дубильного участка:

-

Т.е. каждый дополнительный час работы дубильного участка принесет дополнительную прибыль 1,5 ден. ед.

Ценность каждого дополнительного часа работы раскройного участка:

-

Т.е. каждый дополнительный час работы раскройного участка принесет дополнительную прибыль 0,5 ден. ед.

Таким образом, дополнительные вложения в первую очередь следует направить на расширение дубильного участка и лишь затем - на расширение закройного участка.

5.3.5 Анализ изменения коэффициентов целевой функции

Обозначим через и доходы от продажи одной единицы изделия B и одной единицы изделия Г соответственно. Тогда:

.

Напомним, что угловым коэффициентом прямой является коэффициент при в уравнении прямой с угловым коэффициентом (это уравнение, в котором выражена переменная y), т.е.

= .

Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона данной прямой к положительному направлению оси OX.

Если выразить переменную , то коэффициент при есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси OY.

=

Целевая функция имеет вид

Если (линия уровня С), то уравнение

-

задает семейство параллельных прямых,

или

при

Поскольку прямые параллельны, то все они имеют один и тот же угловой коэффициент, и находить его можно для любой прямой из этого семейства, например, для прямой, у которой (этому соответствует положение прямой , проходящей через начало координат):

Переместим линию уровня в точку максимума D.

При уменьшении ее углового коэффициента прямая d совместится с граничной линией (2), а при увеличении ее углового коэффициента – с граничной линией (1).

Точка D будет оставаться оптимальной точкой до тех пор, пока угол наклона линии к оси OX будет лежать между углами наклона этих прямых, т.е.

и, значит,

Найдем , , , .

Для линии (1):

= - 1

=-1

Для линии (2)

= - 3

=

Поскольку , = - 3, = - 1, то

При условии, что прибыль от продажи единицы изделия остается на прежнем уровне , имеем:

,

т.е. при неизменной прибыли от изделия Г прибыль от изделия В может колебаться от 2 до 6 ден.ед., что не повлечет изменения оптимального решения.

Точка D будет оставаться оптимальной точкой и до тех пор, пока угол наклона линии к оси OY будет лежать между углами наклона этих прямых, т.е.

,

А поскольку =-1, = , = , то

.

При условии, что прибыль от продажи единицы изделия остается на прежнем уровне , имеем:

,

т.е. при неизменной прибыли от изделия В прибыль от изделия Г может колебаться от 1 до 3 ден.ед., что не повлечет изменения оптимального решения.

А что будет, если угловой коэффициент (наклон к оси OX) опорной прямой станет меньше углового коэффициента прямой (2)? В этом случае точкой максимума функции станет точка E (40;0), т.е. производить изделия Г станет невыгодно, потребление первого ресурса (времени работы дубильного участка) сократится и он перестанет быть дефицитным. Дефицитным останется второй ресурс – время работы раскройного участка.

Если угловой коэффициент (наклон к оси OX) опорной прямой станет больше углового коэффициента прямой (1),

то точкой максимума функции станет точка С, в которой пересекаются прямые

и 165 (3), т.е.

С(7;33),

дефицитными ресурсами станут третий и первый – время работы дубильного и завершающего участка, а время работы раскройного участка сократится и перестанет быть дефицитным.

3 Взаимно двойственные задачи линейного программирования

Рассмотрим пару задач линейного программирования, связанных между собой симметричными зависимостями:

• в задаче (1) требуется минимизировать целевую функцию: , а в задаче (2) - максимизировать: ;
• все ограничения задачи (1) – неравенства вида , все ограничения задачи (2) – неравенства –вида ;
• в задаче (1) n неизвестных и m ограничений (без учета условий неотрицательности), в задаче (2) m неизвестных и n ограничений (без учета условий неотрицательности);
• матрицы из коэффициентов при переменных , ,…, задач (1) и при переменных , , …, задачи (2) являются взаимно транспонированными;
• правые части системы ограничений задачи (1) – это коэффициенты целевой функции задачи (2); коэффициенты целевой функции задачи (1) – это правые части системы ограничений задачи (2);
• каждому ограничению задачи (1) в виде неравенства соответствует условие неотрицательности ассоциированной с этим ограничением переменной задачи; каждому ограничению задачи (1) в виде равенства соответствует переменная задачи (2) без ограничений на знак
• каждому ограничению задачи (2) в виде неравенства соответствует неотрицательная переменная задачи (1), каждому ограничению задачи (2) в виде равенства соответствует переменная задачи (1) произвольного знака.

Такие задачи называют парой двойственных задач линейного программирования (или просто двойственной парой).

Задача 1	Задача 2

Пример 1. Построить задачу, двойственную следующей задаче линейного программирования: