Решение. № п/п Алгоритм Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму Составить функцию j(t) = af(t) + bg(t)

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
	Составить функцию j (t) = af (t) + bg (t)	j (t) = af (t) + bg (t), здесь a, b –любые числа, f (t), g (t) Î С 2( a,b )
	Найти образ D (j (t))	D (j (t)) = t × j ¢¢(t) + j ¢(t) = t (af (t) + b g(t))¢¢ + (af (t) + b g(t))¢ = a (tf ¢¢(t) + + f ¢(t)) + b (g¢¢(t) t + g¢(t)). (Использовали линейность операции дифференцирования: по правилам дифференцирования: производная от суммы функций равна сумме производных, числовой множитель можно вынести за знак производной)
	Найти образы D (f (t)) и D (g (t))	D (f (t)) = tf ¢¢(t) + f ¢(t) D (g (t)) = tg ¢¢(t) + g ¢(t)
	Проверить, совпадают ли D (af + bg) и aD (f) + bD (g)	aD (f) + bD (g) = a (tf ¢¢+ f ¢) + b (tg ¢¢+ g ¢) = t (af ¢¢+ bg ¢¢) + af ¢+ bg ¢. Сравнивая результаты п. 2 с последним равенством, получаем, что D (a f + bg) = aD (f) + bD (g)
	Сделать вывод	Оператор D: f (t) ® t × f ¢¢(t) + f ¢(t) – линейный

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 9.1

Проверить линейность заданного преобразования

A: R ³® R ³; Ax = (x ₃, x ₁, x ₂), где x = (x ₁, x ₂, x ₃) Î R ³.

Задание 9.2

Проверить линейность заданного преобразования

A: R ³® R ³; Ax = (x₁ + 1, x ₂, 2 x ₃), где x = (x ₁, x ₂, x ₃) Î R ³.

Задание 9.3

Проверить линейность заданного преобразования

A: V ® V; Ax = (a, a) x,

где a, x – векторы евклидова пространства V, a – фиксированный вектор.