Сравнение двух дисперсий

Пусть имеются две случайные величины X = N (, ) и Y = N (a_y, ) с неизвестными дисперсиями и две независимые выборки x _l, х ₂, …, х_n и у ₁, у ₂, …, у_m. Требуется по полученным выборочным оценкам

и , где и ,

проверить гипотезу Н ₀: .

В качестве критерия при проверке гипотезы Н ₀: используют функцию

F (l ₁, l ₂) = /

которая имеет F -распределение (распределение Фишера – Снедекора) с l ₁ = n – 1 и l ₂ = m – 1 степенями свободы, если полученные по выборкам значения > , и

F (l ₁, l ₂) = /

с l ₁ = m – 1, l ₂ = n – 1, если > .

Если задаться уровнем значимости , то можно построить критические области для проверки гипотезы Н ₀: при двух альтернативных гипотезах:

1) Н ₁: , если > , или Н ₁: , если < .

В этом случае критическая область правосторонняя (, ), где определяется из условия P (F (l ₁, l ₂) > ) = ;

2) H ₁: . В этом случае критическая область двусторонняя. Однако можно использовать только правостороннюю область (, ), где определяется из условия P (F (l ₁ = n – 1, l ₂ = m – 1) > ) = /2, если > , и из условия P (F (l ₁ = m – 1, l ₂ = n – 1) > ) = /2, если < .

Если f_r,. попадает в критическую область, то принимается альтернативная гипотеза H ₁, в противном случае принимается гипотеза Н ₀: ; при этом оценкой генеральной дисперсии служит величина

_________

7.3..4. Срок хранения продукции, изготовленной по технологии А, составил:

Срок хранения	xi
Число единиц продукции	ni

а изготовленной по технологии В:

Срок хранения	yi
Число единиц продукции	mi

Предположив, что случайные величины X и Y распределены по нормальному закону, проверить гипотезу Н ₀: при уровне значимости 0,1 и альтернативной гипотезе Н ₁:

Решение. Вычислим «исправленные» выборочные дисперсии , . Для этого вначале найдем , :

; .

Тогда

;

.

Учитывая, что > , определим f_r:

Критическое значение находим из условия

Р (F (l ₁ = 10 – 1, l ₂ = 17 – 1) > ) = / 2 = 0,05.

По таблице F -распределения (см. Приложение 5) определяем = 2,54.

Так как число f_r = 5,64 попадает в критическую область (2,54; ), то гипотезу о равенстве дисперсий среднего срока хранения продукции, изготовленной по технологиям А и В, отвергаем.