Выборочная дисперсия

Оценки параметров генеральной совокупности, полученные на основании выборки, называются статистическими. Если статистическая оценка характеризуется одним числом, она называется точечной. К числу таких оценок относятся выборочная средняя и выборочная дисперсия.

Выборочная средняя определяется как среднее арифметическое полученных по выборке значений:

,

где x_i – варианта выборки;

n_i – частота варианты;

n – объем выборки.

Замечание. Выборочная средняя будет также обозначаться и без нижнего индекса: .

Выборочная дисперсия представляет собой среднюю арифметическую квадратов отклонений вариант от их выборочной средней:

Для расчетов может быть использована также формула

,

где выборочная средняя квадратов вариант выборки.

Статистическая оценка является случайной величиной и меняется в зависимости от выборки. Если математическое ожидание статистической оценки равно оцениваемому параметру генеральной совокупности, то такая оценка называется несмещенной, если не равно – то смещенной.

Выборочная средняя является оценкой математического ожидания случайной величины и представляет собой несмещенную оценку. Выборочная дисперсия оценивает дисперсию генеральной совокупности и является смещенной оценкой.

Для устранения смещенности выборочной дисперсии ее умножают на величину n /(n – 1) и получают

Величину s ² называют несмещенной или «исправленной» выборочной дисперсией.

В некоторых случаях для удобства расчетов при определении статистических оценок переходят к условным вариантам. Например, если варианты x_i – большие числа, то используют разности

u_i = x_i – С,

где С – произвольно выбранное число (ложный нуль), такое, при котором условные варианты принимают небольшие значения. В этом случае

, ,

Для изменения значения варианты можно ввести также условные варианты путем использования масштабного множителя:

u_i = Cx_i,

где С = 10 ^b (b выбирается положительным или отрицательным целым числом).

____________

6.1. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки:

xi
ni

Решение. Так как выборочные значения – большие числа, то целесообразно ввести условные варианты. В качестве ложного нуля выбираем С = 1470 и рассчитываем u_i no формуле u_i = х_i – 1470:

ui	-20
ni

Определяем выборочную среднюю: .

После этого находим .

6.2. Найти несмещенную оценку дисперсии случайной величины X на основании данного распределения выборки:

xi
ni

Решение. Находим выборочную среднюю

Для вычисления выборочной дисперсии используем формулу:

d _B = 66,56 – 7,68² = 7,58.

Находим несмещенную оценку дисперсии («исправленную» выборочную дисперсию):

.