Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием

На практике часто требуется оценить, соответствуют ли действительности рекламные данные о параметрах того или иного товара. В этом случае возникает задача сравнения выборочной средней с анонсируемым значением этого параметра.

__________

7.2.1. Фирма-поставщик в рекламном буклете утверждает, что средний срок безотказной работы предлагаемого изделия – 2900 ч. Для выборки из 50 изделий средний срок безотказной работы оказался равным 2720 ч при выборочном среднем квадратичном отклонении 700 ч. При 5% -м уровне значимости проверить гипотезу о том, что значение 2900 ч является математическим ожиданием.

Решение. Предположим, что случайная величина срока безотказной работы подчинена нормальному закону распределения. Требуется проверить гипотезу о числовом значении математического ожидания нормально распределенной величины (генеральной средней) при неизвестной генеральной дисперсии. В этом случае в качестве критерия выбирают функцию

где – выборочная средняя, а ₀ – математическое ожидание, S — выборочное среднее квадратичное отклонение. Случайная величина Т имеет t -распределение (распределение Стьюдента) с l = n – 1 степенями свободы. В данной задаче речь идет о сравнении выборочной средней 2720 ч с гипотетическим математическим ожиданием = 2900 ч, при этом выборочное среднее квадратичное отклонение равно 700 ч.

Требуется найти критическую область для нулевой гипотезы Н ₀: а ₀ = 2900 при альтернативной гипотезе Н ₁: а ₀ < 2900. Очевидно, что другие альтернативные гипотезы (а ₀ > 2900 и а ₀ 2900) нецелесообразны, так как потребитель обыч­но обеспокоен лишь тем, что срок службы изделия может оказаться меньше га­рантируемого поставщиком.

Критическая область левосторонняя; находим из условия Р (Т < ) = .

При = 0,05 и l = 50 – 1 = 49 в таблице t -распределения (см. Приложение 6), используя линейную интерполяцию, находим = = –1,677. Таким образом, критическая область = (, –1,677). Рассчитаем t_r полагая а ₀ = :

.

Значение – 1,8 попадает в критическую область, поэтому нулевая гипотеза Н ₀ должна быть отвергнута. Следовательно, фирма в рекламе завышает срок безотказной работы изделия.

7.2.2. Составлена случайная выборка из 64 покупателей, которые интересовались товаром А. Из них товар А купили 16 человек. Поставщик утверждает, что данный товар должен привлечь треть покупателей, а среднее квадратичное отклонение равно одному человеку. Проверить нулевую гипотезу при 5%-м уровне значимости.

Решение. Предположим, что число покупателей, приобретающих товар А, есть случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения. Гипотетическая генеральная средняя при этом составит 21 человек (64 · 1/3). Будем считать, что = 1. Таким образом, речь идет о проверке гипотезы о числовом значении математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии, т.е. о сравнении гипотетической генеральной средней 21с выборочной средней 16 при известном среднем квадратичном отклонении .

Нулевая гипотеза в этой задаче имеет вид Н ₀: = 21, а альтернативная, например, H ₁: a ₀ 21. Возможны и другие альтернативные гипотезы, например Н ₁: а ₀ < 21 или H ₁: а ₀ > 21. Уровень значимости задан: = 0,05.

В качестве критерия в этом случае рассматривается функция

.

Функция Z подчинена нормальному закону распределения N (0, 1). Критическая область будет двусторонней, ее образуют интервалы (, ) и (, ), определяемые из условий P (Z < ) = /2 и P (Z > ) = /2.

Если = 0,05, то /2 = 0,025. Это вероятность попадания случайной величины Z в левостороннюю или правостороннюю области. В этом случае вероятность непопадания случайной величины Z в правостороннюю критическую область (1 – /2) можно представить следующим образом:

Р ( < Z < ) = Р ( < Z < 0) + P (0 < Z < ) = 1 – /2.

Так как Р ( < Z < 0) = 0,5, а Р (0 < Z < ) = Ф() – функция Лапласа в точке , то Ф() = 1 – /2 – 0,5 = 0,475. На основании таблицы значений функции Лапласа (см. Приложение 2) находим = 1,96. Точка расположена симметрично и равна – 1,96. Следовательно, критическая область состоит из интервалов (; –1,96) и (1,96; ). Рассчитаем z_r:

.

Значение z_r попадает в критическую область, поэтому гипотеза H ₀: а ₀ = 21 отвергается.

7.3.3. Фирма – изготовитель женских украшений, выпустив новый товар, утверждает, что 40% покупателей купят эти украшения. В ходе 10-дневной рекламной распродажи в среднем приобрели украшения 29,5% покупателей, выборочное среднее квадратичное отклонение составило 16,5%. При 5%-м уровне значимости оценить утверждение изготовителя товара.

Решение. Проверим нулевую гипотезу H ₀: a ₀ = 40% и альтернативную H ₁: а ₀ < 40%. Предположим, что случайная величина X – число покупателей – имеет нормальный закон распределения. В данной задаче требуется проверить гипотезу о числовом значении математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии. Критерий имеет вид

Для заданного уровня значимости = 0,05 найдем левостороннюю критическую область с учетом того, что l = 10 – 1 = 9 степеней свободы (см. Приложение 6). Критическая область есть интервал (; –1,833). Вычислим t_r:

Число –1,909 попадает в критическую область. Таким образом, нулевая гипотеза отвергается.