Интервальные оценки

Если статистическая оценка параметров закона распределения случайной величины X характеризуется двумя числами – концами интервала, то такая оценка называется интервальной.

Интервал, в который попадает оцениваемый параметр с заданной надежностью (вероятностью), называется доверительным. Доверительный интервал применяется в случае сравнительно небольшого объема выборки, когда предполагается, что надежность точечной оценки может быть невысокой.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания случайной величины X с заданной надежностью в случае нормального закона распределения определяется на основе неравенств

,

где z – значение аргумента функции Лапласа, получаемое из таблиц (см. Приложение 2), с учетом того, что Ф (z) = /2;

– известное среднее квадратичное отклонение или его оценка;

n – объем выборки.

Доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения случайной величины X с надежностью для нормального закона распределения случайной величины находится из неравенств

,

где s – несмещенное значение выборочного среднего квадратичного отклонения;

q – параметр, который находится по таблице (см. Приложение 3) на основе известного значения объема выборки n и заданной надежности оценки .

__________

2.4. Найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины X, если известны ее среднее квадратичное отклонение , выборочная средняя и объем выборки n = 16.

Решение. По надежности = 0,95 из соотношения Ф (z) = /2 находим значение функции Лапласа: Ф (z) = 0,475.

По таблице значений функции Лапласа (см. Приложение 2) находим z = 1,96. Используя неравенства для интервальной оценки математического ожидания, получаем

16 – 1,96 × 4/4 < М_х < 16 + 1,96 × 4/4,

или

14,04 < М_x < 17,96.

6.5. По данным выборки объема n = 25 найдено несмещенное значение выборочного среднего квадратичного отклонения s = 3 нормально распределенной случайной величины X. Найти с надежностью 0,99 доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения случайной величины.

Решение. На основании данных значений = 0,99, n = 25 по таблице (см. Приложение 3) находим значение q = 0,49. Подставляем в неравенства

откуда

МОДУЛЬ 7. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Основные понятия

Если принятое решение о законе распределения генеральной совокупности или о числовых значениях его параметров проверяется по выборочным данным, то говорят о проверке статистических гипотез. Проверке подвергается гипотеза об отсутствии разности между принятым и найденным по выборке значениями исследуемого параметра. Такую гипотезу называют нулевой. Противоположную ей гипотезу называют альтернативной.

Схема проверки нулевой гипотезы:

1. Рассматривая выборочные данные x ₁, х ₂,..., х_n и учитывая конкретные условия задачи, принимают Н ₀ – нулевую гипотезу и Н ₁ – альтернативную гипотезу, конкурирующую с Н ₀.

2. Так как решение о справедливости гипотезы H ₀ принимается на основе выборочных данных, могут возникать ошибки двух родов:

· гипотеза Н ₀ отвергается, а на самом деле она верна – это ошибка первого рода; вероятность ошибки первого рода равна уровню значимости , т.е. ;

· гипотеза Н ₀ принимается, а на самом деле она неверна – это ошибка второго рода; вероятность ошибки второго рода равна , т.е.

Соответственно, вероятность принять верную гипотезу равна ,

а вероятность отвергнуть неверную гипотезу Н ₀ равна .

3. Используя выборочные данные, вводят статистический критерий – некоторую функцию К, зависящую от условий решаемой статистической задачи. Эти функции, являясь случайными величинами, подчинены некоторому известному, затабулированному закону распределения (t – распределение, – распределение или нормальное распределение).

4. В зависимости от принятого уровня значимости из области допустимых значений функции критерия К выделяют критическую область . Далее руководствуются следующим правилом: если вычисленное по выборке значение критерия К попадает в критическую область, то Н ₀ отвергается и принимается гипотеза Н ₁. При этом возможно, что Н ₀ справедлива и, следовательно, совершена ошибка первого рода, вероятность которой , т.е. .

Возможны три варианта расположения критической области:

правосторонняя критическая область (рис. 3.1, а), состоящая из интервала (), где определяется из условия

Р (К > ) = ;

a)

левосторонняя критическая область (рис. 3.1, б), состоящая из интервала (), где определяется из условия Р (К > ) = ;

двусторонняя критическая область (рис. 3.1, в), состоящая из интервалов () и где точки и определяются из условий Р (К < ) = и Р (К > ) =

б)

в)

Рис 7.1

5. По выборочным данным находят числовое значение критерия (). Если попадает в критическую область , то гипотеза Н ₀ отвергается и принимается альтернативная гипотеза Н ₁. Если k_r не попадает в критическую область, то гипотеза Н ₀ принимается.

При проверке статистических гипотез учитываются конкретные условия рассматриваемой задачи.