Проверка гипотезы о распределении. Критерий Пирсона

При проверке статистических гипотез о соответствии отдельных параметров закона распределения случайных величин предполагалось, что законы распределения этих величин известны. Однако при решении практических задач (особенно экономических) модель закона распределения в общем случае заранее неизвестна, поэтому возникает необходимость выбора модели закона распределения, согласующейся с результатами выборочных наблюдений.

Пусть x ₁, х ₂,..., х_n – выборка наблюдений случайной величины X с неизвестной непрерывной функцией распределения F (x). Проверяется гипотеза Н ₀, утверждающая, что X распределена по закону, имеющему функцию распределения F (x), равную функции F ₀(x), т.е. проверяется нулевая гипотеза Н ₀: F (x) = F ₀(x).

Критерии, с помощью которых проверяется нулевая гипотеза о неизвестном распределении, называются критериями согласия. Рассмотрим критерий согласия Пирсона.

Схема проверки нулевой гипотезы H ₀: F (x) = F ₀(x):

1. По выборке х ₁, х ₂, …, х_n строят вариационный ряд; он может быть как дискретным, так и интервальным. Рассмотрим для определенности дискретный вариационный ряд

xi	х 1	х 2	…	xk -1	xk
mi	m 1	m 2	…	m k-1	mk

2. По данным предыдущих исследований или по предварительным данным делают предположение (принимают гипотезу) о модели закона распределения случайной величины X.

3. По выборочным данным проводят оценку параметров выбранной модели закона распределения. Предположим, что закон распределения имеет r параметров (например, биномиальный закон имеет один параметр р; нормальный – два параметра (а ₀, ) и т.д.).

4. Подставляя выборочные оценки значений параметров распределения, находят теоретические значения вероятностей

, i = 1, 2,..., k.

5. Рассчитывают теоретические частоты , где

6. Рассчитывают значение критерия согласия Пирсона

.

Эта величина при стремится к распределению с l = k – r –1 степенями свободы. Поэтому для расчетов используют таблицы распределения .

7. Задаваясь уровнем значимости , находят критическую область (она всегда правосторонняя) (()^п; ); значение ()^п определяют из соотношения = Р( > ()^п). Если численное значение попадает в интервал (()^п; ), то гипотеза H ₀: F (x) = F ₀(x) отклоняется и принимается альтернативная гипотеза о том, что выбранная модель закона распределения не подтверждается выборочными данными, при этом допускается ошибка, вероятность которой равна .

_________

7.5.8. Коммерсант предполагает, что объем продаж нового вида продукции в каждой из пяти торговых точек, расположенных в различных районах, будет одинаков. Фактический объем продаж оказался разным:

Район	i
Фактический объем продаж	mi

Оценить, значимы или нет различия между наблюдаемыми и ожидаемыми объемами продаж при уровне значимости 0,01 и 0,05.

Решение. Так как в задаче спрашивается о согласовании ожидаемых (одинаковых) и фактических объемов продаж, то теоретический закон распределения» определен: во всех районах объем продаж одинаков, т.е.

Заметим, что в данном примере нельзя использовать в качестве закона распределения биномиальный или нормальный закон, так как речь идет об одновременном сравнении пяти районов.

Составим таблицу

Район	i
Фактический объем продаж	mi
Ожидаемый объем продаж

Тогда

.

Выбирая уровень значимости = 0,01, по таблице -распределения (см. Приложение 4) для числа степеней свободы l =5 – 1 = 4 находим ()^п = 13,3, а для уровня значимости = 0,05 при l = 4, соответственно, ()^п = 9,5.

Следовательно, для уровня значимости = 0,01 критическая область представляет собой интервал (13,3; ), = 9,8 не попадет в критическую область, т.е. нулевая гипотеза, состоящая в том, что ожидаемые и фактические объемы продаж согласуются, не отвергается. Для уровня значимости = 0,05 критической областью является интервал (9,5; ), и, так как = 9,8 попадает в критическую область, нулевая гипотеза должна быть отклонена.