Линейная регрессия со сгруппированными данными

В том случае, когда варианты парной выборки встречаются по нескольку раз, причем с одним значением варианты x_i может встретиться несколько вариант y_j, их обычно представляют в виде корреляционной таблицы. На пересечении строк и столбцов этой таблицы отмечается частота n_ij выбора соответствующей пары (x_i, y_j), а частоты вариант x_i (i = 1, 2,..., k ₁), у_j (j = 1,2,..., k ₂) находятся как суммы значений n_ij по соответствующей строке или столбцу. Например, в корреляционной таблице

xi yj
		–
				n = 16

пара (10; 5) встречается 3 раза, т.е. n ₁₁ = 3, а частота появления величины y ₁ = 5 находится как сумма = 3 + 2 = 5.

Очевидно, что .

Для коэффициента корреляции случайных величин X и Y в случае сгруппированных данных используется выражение

,

где

,

После подсчета , , , и r _в получают выборочное уравнение линейной регрессии Y на X в виде

или выборочное уравнение линейной регрессии X на Y в виде

.

Для упрощения расчетов часто используются условные варианты, которые подсчитываются по формулам

u_i = (x_i – C ₁)/ h ₁ = (y_j – C ₂)/ h ₂,

где C ₁, C ₂ – ложные нули (выбираемые значения);

h _l, h ₂ – разности между соседними значениями X и Y.

Соответственно, для обратного перехода применяются выражения

x_i = h ₁ u_i + С ₁, у_j = h ₂ + С ₂ ,

, ,

= h ₁ , = h ₂ ,

где , – средние значения условных вариант;

, – средние квадратичные отклонения условных вариант.

Для подсчета выборочного коэффициента корреляции в этом случае используется формула

,

где

, .

Подсчитав выборочный коэффициент корреляции через условные варианты, и осуществив переход к условным переменным, получают соответствующие уравнения регрессии.

__________

8.2. Найти выборочное уравнение линейной регрессии X на Y на основании корреляционной таблицы

xi yj
			–		–	–
		–		–	–
	–		–
	–	–

Решение. Для упрощения расчетов введем условные варианты.

u_i = (x_i – 30)/5, = (у_j – 120)/20

и составим преобразованную корреляционную таблицу с условными вариантами, в которую внесем значения и :

ui	-3	-2	-1
-1			–		–	–
		–		–	–
	–		–
	–	–
							n =50

Затем составим новую таблицу, в которую внесем посчитанные значения n_ijU_i в правый верхний угол заполненной клетки и n_ijV_j в левый нижний угол, после чего суммируем верхние значения по строкам для получения значений V_j и нижние значения по столбцам для U_i и подсчитаем величины u_iU_i и V_j (табл. 4.1).

Таблица 8.1

ui	-3	-2	-1				Vj	Vj
–1	-6 -2	-2 -1	–	-7	–	–	-8
	-12	–	-2	–	–		-8
	–	-10	–				-1	-1
	–	–	-3
Ui	-2						–	=17
uiUi		-8	-6				=17	–

Подсчитываем суммы и . Параллельный подсчет этих сумм осуществляется для контроля правильности расчетов. В данном случае

= =17.

Находим , :

= (–3 · 6 – 2 · 6 – 1 · 5 + 1 · 7 + 2 · 8)/50 = – 0,24;

= (–1 · 10 + 1 · 22 + 2 · 9)/50 = 0,6.

Находим , :

=(9 · 6 + 4 · 6 + 1 · 5 + 1 · 7 + 4 · 8)/50 = 2,44;

= (1 · 10 + 1 · 22 + 4 · 9)/50 = 1,36.

Определяем , :

= ;

= .

Вычисляем выборочный коэффициент корреляции r _в:

r _в = (17 – 50 · (–0,24) · 0,6)/(50 · 1,54 · 1) = 0,314.

Осуществим переход к исходным вариантам:

= h ₁ + С ₁ = 5 ·(–0,24) + 30 = 28,8,

= h ₁ + С ₂ = 20 ·0,6 + 120 = 132,

= h ₁ = 5 · 1,54 = 7,7,

= h ₂ = 20 · 1 = 20.

Находим уравнение регрессии X на Y:

– 28,8 = или = 0,12 y + 12,8.