Распределение частот

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.

МОДУЛЬ 5. ВЫБОРКА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Распределение частот

Совокупность всех возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения, или совокупность всех возможных наблюдений, проводимых в одинаковых условиях над некоторой случайной величиной, называется генеральной совокупностью. Генеральная совокупность может содержать конечное или бесконечное число элементов.

Отобранные из генеральной совокупности объекты (результаты наблюдений над конечным числом объектов из генеральной совокупности) называются выборочной совокупностью или выборкой. Число N элементов генеральной совокупности и число n элементов выборочной совокупности будем называть объемами генеральной и выборочной совокупности соответственно (обычно ).

Расположение выборочных наблюденных значений случайной величины в порядке неубывания называется ранжированием.

Значение случайной величины, соответствующее отдельной группе сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называется вариантой, а изменение этого значения – варьированием.

Численность отдельной группы сгруппированного ряда наблюдаемых данных называется частотой или весом варианты. Если i – индекс варианты, то m_i – число измеренных значений i -й варианты.

Отношение m_i к общей сумме частот всех вариант называется относительной частотой варианты и обозначается .

Дискретным вариационным рядом распределения (распределением частот) называется ранжированная совокупность вариант x_i с соответствующими им частотами или относительными частотами.

Если наблюдаемая случайная величина непрерывна или дискретная величина такова, что число ее возможных значений велико, то для построения вариационного ряда используют интервальный ряд распределения. В этом случае весь возможный интервал варьирования разбивают на конечное число частичных интервалов и подсчитывают частоту попадания значений величины в каждый частичный интервал.

Интервальным вариационным рядом (интервальным распределением частот) называется упорядоченная последовательность интервалов варьирования случайной величины с соответствующими частотами или относительными частотами попаданий в каждый из них значений случайной величины.

5.1. В супермаркете проводились наблюдения над числом X покупателей, обратившихся в кассу за один час. Наблюдения в течение 30 часов (15 дней в периоде 9 до 10 и с 10 до 11 часов) дали следующие результаты:

70, 75, 100, 120, 75, 60, 100, 120, 70, 60, 65, 100, 65, 100, 70,75, 60,100,100, 120,70,75,70,120,65,70,75, 70, 100, 100.

Число X является дискретной случайной величиной, а полученные данные представляют собой выборку из n = 30 наблюдений. Требуется составить ряд распределения частот (вариационный ряд).

Решение. Вначале составим ранжированный ряд:

60, 60, 60, 65, 65, 65, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 75, 75, 75, 75, 75, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 120, 120, 120, 120.

Получено шесть групп, т.е. шесть различных значений случайной величины (шесть вариант). Для каждой группы подсчитаем частоту значений варианты и соответствующую относительную частоту. Все результаты укажем в табл. 1.1., которая и будет представлять вариационный ряд.

Таблица 5.1.

Номер группы	i
Число обращений покупателей в кассу	хi
Частота	mi
Относительная частота	pi	3/30	3/30	7/30	5/30	8/30	4/30

5.2. В табл. 5.2 приведена выборка результатов измерения роста 105 студентов (юношей). Измерения проводились с точностью до 1 см.

Таблица 5.2

Требуется составить интервальный вариационный ряд.

Решение. Очевидно, что рост юношей есть случайная непрерывная величина. Найдем сначала минимальное и максимальное значения случайной величины: х_min = 152 см, x_max = 196 см. Тогда интервал варьирования R («размах») будет равен R = x_max – х_min = 44 см.

На практике обычно считают, что правильно составленный ряд распределения содержит от 6 до 15 частичных интервалов, однако фактическое число частичных интервалов и, соответственно, размер интервала определяются условиями конкретной задачи.

В нашем случае удобно выбрать длину частичного интервала равной 5 см, тогда число частичных интервалов, начиная со 150 см и кончая 200 см, будет равно 10. Соответствующий интервальный вариационный ряд приведен в табл. 5.3.

Таблица 5.3