Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение

Для вывода уравнения бегущей волны, представляющего собой зависимость смещения колеблющейся частицы от координат и времени, рассмотрим плоскую волну. Предположим, что колебания носят гармонический характер, а ось x совпадает с направлением распространения волны (см. рис. 6.1). В данном случае волновые поверхности перпендикулярны оси x, а так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещение xбудет зависеть только от x и t, т.е. x = x(x, t).

На рис. 6.1 рассмотрим некоторую частицу среды В, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости х = 0, описывается функцией x(0, t) = A cos w t, то частица среды В колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на t, так как для прохождения волной расстояния х требуется время t = x/v, где v – скорость распространения волны. Это так называемое уравнение запаздывания. Тогда уравнение колебания частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид

x(x, t) = A cos [w (t – x/v)], (6.6)

откуда следует, что x(x,t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (6.6) есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то

x (x,t) = A cos [w (t + x/v)].

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

x(x,t) = A cos [w (t – x/v)+ j₀], (6.7)

где А = const – амплитуда волны; w – циклическая частота волны; j₀ – начальная фаза колебаний, определяемая в общем случае выбором начала отсчета х и t; [w (t – x/v)+ j₀] – фаза плоской волны.

Для характеристики волн используется волновое число