Динамика системы с наблюдателем полного порядка

Оценим собственные числа и собственные векторы замкнутой системы с наблюдателем.

Предположим, что:

1) имеется система управления, описываемая уравнениями:

2) рассчитан наблюдатель полного порядка для оценки состояния по выходу y:

3)рассчитан закон управления, обеспечивающий заданное качество процессов: .

Для целей управления используются оценки координат, поэтому реализуемый закон имеет вид:

.

Необходимо оценить свойства такой замкнутой системы, имеющей порядок 2n.

Рис. 9.6 Система с наблюдателем полного порядка

Введем расширенный вектор состояния, включающий координаты системы и наблюдателя: и запишем уравнения для системы и наблюдателя:

Переходя к расширенному вектору состояния получим уравнение всей системы в виде блочных матриц

Далее будем рассматривать собственные числа и собственные векторы на основе знания собственных чисел и собственных векторов блочных матриц .

В уравнении (5) сделаем замену переменных в векторе состояния, чтобы в явном виде видеть ошибку, т.е.

после чего оно принимает вид:

умножим слева на

заменим

Попытаемся еще упростить матрицу , чтобы избавиться от . Для этого применим к матрице еще одно преобразование подобия:

Этому соответствует уравнение:

Для того, чтобы верхний блок был бы равен нулю необходимо, чтобы S удовлетворяла уравнению: . Решение этого уравнения существует всегда, если собственные значения не совпадают. Тогда

.

Теперь сделаем еще один шаг, т.е. применим к матрице еще одно преобразование:

Таким образом, через ряд преобразований подобия от матрицы мы пришли к матрице , которая является жордановой.

Получаем ответ:

.

Отсюда видно, что собственные векторы замкнутой системы состоят из векторов самой системы.

Жорданова нормальная форма замкнутой системы представляется в виде прямой суммы жордановых матриц , т.е. желаемой жордановой матрицы замкнутой системы и жордановой нормальной формы наблюдателя.

В замкнутой системе с наблюдателем “сохраняются” собственные векторы, отвечающие желаемым собственным значениям замкнутой системы и “сохраняют” левые собственные векторы, отвечающие желаемым собственным значениям наблюдателя “сохраняются”,т.е. собственные векторы состоят из двойных собственных векторов.