Пример расчета управления в виде обратной связи по состоянию

Рассмотрим систему, приведенную в разделе 8 «Анализ и синтез линейных систем методом корневого годографа»:

X2

X1

U

Рис. 9.2 Схема системы

Задача обеспечения в замкнутой системе показателей качества t_p=0,5сек и =5% была решена методом целенаправленного подбора, выбором корректирующего звена, назначением его параметров и коэффициентов передачи, обеспечивающими в замкнутой системе доминирующие полюсы, равные s _i,i+1=-4±j4.

Решим эту задачу за счет расчета вектора обратной связи L. В соответствии со структурной схемой дифференциальные уравнения состояния имеют вид:

Соответственно в матричном виде:

где

Уравнение выхода:

Соответственно в матричном виде:

где

Для расчета понадобится матричная передаточная функция:

Проведем ее вычисление:

Далее проводим синтез по модальной методике, используя уравнение (5) для расчета собственных векторов:

=

и выражение (2) для расчета вектора обратной связи L= ^.F^-1.

Таким образом, процедура синтеза сводится к следующим этапам:

1. Вычисление составляющих f ₁ и f ₂ матрицы F;

2. Вычисление обратной матрицы F^-1;

3. Вычисление матрицы обратной связи L

4. Вычисление коэффициента при внешнем воздействии для обеспечения заданной статики

Этап 1: Вычисление матрицы F.

Принимаем: s₁=-4+ j 4=s, s₂=-4- j 4=s* (сопряженное значение). Так как управление скалярное, m=1, то матрицу зададим в следующем виде:

=( )=(1, 1).

Этап 2: Вычисление матрицы F^-1

Этап 3: Вычисление составляющих матрицы L(l ₁, l ₂)

Таким образом, L=[6,20].

Для проверки правильности вычислений используем следующие два соотношения.

1) След у подобных матриц должен быть одинаков:

,

.

2) Определители подобных матриц должны быть одинаковы:

В результате расчета схема реализации полученного управления u=-Lx+Gv:

	U		X2=y

V

X1

Рис. 9.3 Схема системы с управлением по состоянию

Коэффициент G определим из условия обеспечения единичной статики от внешнего воздействия v к выходу y. Это означает, что при v =1, установившееся значение y =1. Уравнение статики можно получить из уравнений системы при условии, что производные равны нулю:

При v =1, y =1 вычислить G:

Подставим в выражение для